Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (4+x^3+5*x^2+8*x)/(-4+x^3+3*x^2)
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- log(factorial(n))/(n*log(n))
- logaritmo de (factorial(n)) dividir por (n multiplicar por logaritmo de (n))
- log(factorial(n))/(nlog(n))
- logfactorialn/nlogn
- log(factorial(n)) dividir por (n*log(n))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(7+x)/(-3+x)^(1/7)
- log(x)/(1-x)^2
- log(log(x))/(x-e)
- log(2+sqrt(x))/log(6+x^(1/6))
- log(3+2*x)
- factorial
- factorial(1+k)^2/Abs(factorial(k)^2)
- factorial(factorial(2*n))/factorial(factorial(2+2*n))
- factorial(n)^3/factorial(3*n)
- factorial(1+2*n)/factorial(2*n)
- factorial(x)^(x*(1+x))
- Logaritmo log
- log(7+x)/(-3+x)^(1/7)
- log(x)/(1-x)^2
- log(log(x))/(x-e)
- log(2+sqrt(x))/log(6+x^(1/6))
- log(3+2*x)
Límite de la función log(factorial(n))/(n*log(n))
Solución
Ha introducido
[src]
/log(n!) \ lim |--------| n->oo\n*log(n)/
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
Limit(log(factorial(n))/((n*log(n))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{\log{\left(n! \right)}}{n}}{\frac{d}{d n} \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{2}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{\Gamma^{2}\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{2} n!^{2}} - \frac{2 \log{\left(n! \right)} \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{3} n!} + \frac{\log{\left(n! \right)}^{2}}{n^{4}}}{- \frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{n n!} + \frac{\Gamma^{2}\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!^{2}} + \frac{2 \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{2} n!} - \frac{2 \log{\left(n! \right)}}{n^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{\Gamma^{2}\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{2} n!^{2}} - \frac{2 \log{\left(n! \right)} \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{3} n!} + \frac{\log{\left(n! \right)}^{2}}{n^{4}}}{- \frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{n n!} + \frac{\Gamma^{2}\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!^{2}} + \frac{2 \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{2} n!} - \frac{2 \log{\left(n! \right)}}{n^{3}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{\log{\left(n! \right)}}{n}}{\frac{d}{d n} \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{2}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{\Gamma^{2}\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{2} n!^{2}} - \frac{2 \log{\left(n! \right)} \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{3} n!} + \frac{\log{\left(n! \right)}^{2}}{n^{4}}}{- \frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{n n!} + \frac{\Gamma^{2}\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!^{2}} + \frac{2 \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{2} n!} - \frac{2 \log{\left(n! \right)}}{n^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{\Gamma^{2}\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{2} n!^{2}} - \frac{2 \log{\left(n! \right)} \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{3} n!} + \frac{\log{\left(n! \right)}^{2}}{n^{4}}}{- \frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{n n!} + \frac{\Gamma^{2}\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!^{2}} + \frac{2 \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n^{2} n!} - \frac{2 \log{\left(n! \right)}}{n^{3}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 1 - \gamma$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 1 - \gamma$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 1 - \gamma$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 1 - \gamma$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo