Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función/ -pi/2/ sin(x)/ (1-sin(x))/(x-pi/2)^2

Límite de la función (1-sin(x))/(x-pi/2)^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /1 - sin(x)\
 lim  |----------|
   pi |        2 |
x->--+|/    pi\  |
   2  ||x - --|  |
      \\    2 /  /
lim⁡x→π2+(1−sin⁡(x)(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) 
Limit((1 - sin(x))/(x - pi/2)^2, x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(4−4sin⁡(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 - 4 \sin{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+(2x−π)2=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \left(2 x - \pi\right)^{2} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+(1−sin⁡(x)(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π2+(4(1−sin⁡(x))(2x−π)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{4 \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)}{\left(2 x - \pi\right)^{2}}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(4−4sin⁡(x))ddx(2x−π)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 - 4 \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - \pi\right)^{2}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−4cos⁡(x)8x−4π)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{8 x - 4 \pi}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(−4cos⁡(x))ddx(8x−4π))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4 \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(8 x - 4 \pi\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(sin⁡(x)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)
=
lim⁡x→π2+12\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{2}
=
lim⁡x→π2+12\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{2}
=
12\frac{1}{2}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.00.01.0
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
1/2
12\frac{1}{2}
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /1 - sin(x)\
 lim  |----------|
   pi |        2 |
x->--+|/    pi\  |
   2  ||x - --|  |
      \\    2 /  /
lim⁡x→π2+(1−sin⁡(x)(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
      /1 - sin(x)\
 lim  |----------|
   pi |        2 |
x->---|/    pi\  |
   2  ||x - --|  |
      \\    2 /  /
lim⁡x→π2−(1−sin⁡(x)(x−π2)2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
= 0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−(1−sin⁡(x)(x−π2)2)=12\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+(1−sin⁡(x)(x−π2)2)=12\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}
lim⁡x→∞(1−sin⁡(x)(x−π2)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(1−sin⁡(x)(x−π2)2)=4π2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{4}{\pi^{2}}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1−sin⁡(x)(x−π2)2)=4π2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = \frac{4}{\pi^{2}}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(1−sin⁡(x)(x−π2)2)=−−4+4sin⁡(1)−4π+4+π2\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = - \frac{-4 + 4 \sin{\left(1 \right)}}{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1−sin⁡(x)(x−π2)2)=−−4+4sin⁡(1)−4π+4+π2\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = - \frac{-4 + 4 \sin{\left(1 \right)}}{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1−sin⁡(x)(x−π2)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
0.5
0.5
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