Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}^{4}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{4}{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}^{4}{\left(2 x \right)}}{\tan^{4}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}^{4}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan^{4}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 \operatorname{asin}^{3}{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(12 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 12\right) \tan^{3}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}^{3}{\left(2 x \right)}}{3 \tan^{3}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}^{3}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{3 \tan^{3}{\left(3 x \right)}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(9 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 9\right) \tan^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{9 \tan^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{9 \tan^{2}{\left(3 x \right)}}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{16 \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{9 \sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(6 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 6\right) \tan{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{27 \tan{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{27 \tan{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{16}{81}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)