Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{4 \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{2 \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)