Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(x^{2} - \pi^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{x^{2} - \pi^{2}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - \pi^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 x}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \pi}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \pi}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$- 2 \pi$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)