Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x^(1/log(-1+e^x))
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Expresiones idénticas
- z^ tres /((uno -cos(z)^ dos)*sin(z))
- z al cubo dividir por ((1 menos coseno de (z) al cuadrado ) multiplicar por seno de (z))
- z en el grado tres dividir por ((uno menos coseno de (z) en el grado dos) multiplicar por seno de (z))
- z3/((1-cos(z)2)*sin(z))
- z3/1-cosz2*sinz
- z³/((1-cos(z)²)*sin(z))
- z en el grado 3/((1-cos(z) en el grado 2)*sin(z))
- z^3/((1-cos(z)^2)sin(z))
- z3/((1-cos(z)2)sin(z))
- z3/1-cosz2sinz
- z^3/1-cosz^2sinz
- z^3 dividir por ((1-cos(z)^2)*sin(z))
-
Expresiones semejantes
- z^3/((1+cos(z)^2)*sin(z))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/(1-sin(x))
- cos(3*pi*x)^(1/(x*sin(2*pi*x)))
- cos(x)/(1+x)
- cos(x)/cos(2*x)
- cos(sqrt(x))
- Seno sin
- sin(2)^2/x
- sin(8*x)/(5*x)
- sin(12*x)/(3*x)
- sin(1/(-1+x))
- sin(x)^2+cos(x)
Límite de la función z^3/((1-cos(z)^2)*sin(z))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \
| z |
lim |--------------------|
z->0+|/ 2 \ |
\\1 - cos (z)/*sin(z)/
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
Limit(z^3/(((1 - cos(z)^2)*sin(z))), z, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\sin{\left(z \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \frac{z^{3}}{\sin{\left(z \right)}}}{\frac{d}{d z} \left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- \frac{z^{3} \cos{\left(z \right)}}{\sin^{2}{\left(z \right)}} + \frac{3 z^{2}}{\sin{\left(z \right)}}}{2 \sin{\left(z \right)} \cos{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- \frac{z^{3} \cos{\left(z \right)}}{\sin^{2}{\left(z \right)}} + \frac{3 z^{2}}{\sin{\left(z \right)}}}{2 \sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- \frac{z^{3} \cos{\left(z \right)}}{\sin^{2}{\left(z \right)}} + \frac{3 z^{2}}{\sin{\left(z \right)}}}{2 \sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\sin{\left(z \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} \frac{z^{3}}{\sin{\left(z \right)}}}{\frac{d}{d z} \left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- \frac{z^{3} \cos{\left(z \right)}}{\sin^{2}{\left(z \right)}} + \frac{3 z^{2}}{\sin{\left(z \right)}}}{2 \sin{\left(z \right)} \cos{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- \frac{z^{3} \cos{\left(z \right)}}{\sin^{2}{\left(z \right)}} + \frac{3 z^{2}}{\sin{\left(z \right)}}}{2 \sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- \frac{z^{3} \cos{\left(z \right)}}{\sin^{2}{\left(z \right)}} + \frac{3 z^{2}}{\sin{\left(z \right)}}}{2 \sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 3 \
| z |
lim |--------------------|
z->0+|/ 2 \ |
\\1 - cos (z)/*sin(z)/
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
/ 3 \
| z |
lim |--------------------|
z->0-|/ 2 \ |
\\1 - cos (z)/*sin(z)/
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
= 1
Otros límites con z→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right) = \frac{1}{\sin^{3}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right) = \frac{1}{\sin^{3}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
Más detalles con z→-oo
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right) = \frac{1}{\sin^{3}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right) = \frac{1}{\sin^{3}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{z^{3}}{\left(1 - \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \sin{\left(z \right)}}\right)$$
Más detalles con z→-oo