Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (-log(uno +x)+log(x+sqrt(uno +x^ dos)))/x^ dos
- ( menos logaritmo de (1 más x) más logaritmo de (x más raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado ))) dividir por x al cuadrado
- ( menos logaritmo de (uno más x) más logaritmo de (x más raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos))) dividir por x en el grado dos
- (-log(1+x)+log(x+√(1+x^2)))/x^2
- (-log(1+x)+log(x+sqrt(1+x2)))/x2
- -log1+x+logx+sqrt1+x2/x2
- (-log(1+x)+log(x+sqrt(1+x²)))/x²
- (-log(1+x)+log(x+sqrt(1+x en el grado 2)))/x en el grado 2
- -log1+x+logx+sqrt1+x^2/x^2
- (-log(1+x)+log(x+sqrt(1+x^2))) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (-log(1+x)+log(x-sqrt(1+x^2)))/x^2
- (-log(1+x)-log(x+sqrt(1+x^2)))/x^2
- (log(1+x)+log(x+sqrt(1+x^2)))/x^2
- (-log(1-x)+log(x+sqrt(1+x^2)))/x^2
- (-log(1+x)+log(x+sqrt(1-x^2)))/x^2
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sqrt((1+x)/(1-x)))/x
- log(x-a)/log(e^x-e^a)
- log(-5+x)/log(e^x-e^5)
- log(5+x)/(3+x)^(1/4)
- log(sin(x))/(-pi+2*x)^2
- Logaritmo log
- log(sqrt((1+x)/(1-x)))/x
- log(x-a)/log(e^x-e^a)
- log(-5+x)/log(e^x-e^5)
- log(5+x)/(3+x)^(1/4)
- log(sin(x))/(-pi+2*x)^2
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
Límite de la función (-log(1+x)+log(x+sqrt(1+x^2)))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ / ________\\
| | / 2 ||
|-log(1 + x) + log\x + \/ 1 + x /|
lim |----------------------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
Limit((-log(1 + x) + log(x + sqrt(1 + x^2)))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1} + \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{x + 1}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1} + \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{3}}{4 x^{5} + 4 x^{4} \sqrt{x^{2} + 1} + 8 x^{3} + 6 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + 4 x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{x^{2}}{2 x^{4} + 2 x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + 3 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1} - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \left(2 x^{4} + 2 x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + 3 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} - \frac{x}{4 x^{3} + 4 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + 4 x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 \left(2 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{3}}{4 x^{5} + 4 x^{4} \sqrt{x^{2} + 1} + 8 x^{3} + 6 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + 4 x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{x^{2}}{2 x^{4} + 2 x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + 3 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1} - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \left(2 x^{4} + 2 x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + 3 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} - \frac{x}{4 x^{3} + 4 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + 4 x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 \left(2 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1} + \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{x + 1}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1} + \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{3}}{4 x^{5} + 4 x^{4} \sqrt{x^{2} + 1} + 8 x^{3} + 6 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + 4 x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{x^{2}}{2 x^{4} + 2 x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + 3 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1} - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \left(2 x^{4} + 2 x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + 3 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} - \frac{x}{4 x^{3} + 4 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + 4 x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 \left(2 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x^{3}}{4 x^{5} + 4 x^{4} \sqrt{x^{2} + 1} + 8 x^{3} + 6 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + 4 x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{x^{2}}{2 x^{4} + 2 x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + 3 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1} - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \left(2 x^{4} + 2 x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + 3 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} - \frac{x}{4 x^{3} + 4 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + 4 x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 \left(2 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / ________\\
| | / 2 ||
|-log(1 + x) + log\x + \/ 1 + x /|
lim |----------------------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/ / ________\\
| | / 2 ||
|-log(1 + x) + log\x + \/ 1 + x /|
lim |----------------------------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo