Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(\tan{\left(x \right)} - \tan{\left(2 \right)}\right)}{x - 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+} \sin{\left(\log{\left(x - 1 \right)} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(\tan{\left(x \right)} - \tan{\left(2 \right)}\right)}{\left(x - 1\right) \sin{\left(\log{\left(x - 1 \right)} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(\tan{\left(x \right)} - \tan{\left(2 \right)}\right)}{\left(x - 1\right) \sin{\left(\log{\left(x - 1 \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(\tan{\left(x \right)} - \tan{\left(2 \right)}\right)}{x - 1}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\log{\left(x - 1 \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x - 1} - \frac{x \left(\tan{\left(x \right)} - \tan{\left(2 \right)}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\tan{\left(x \right)} - \tan{\left(2 \right)}}{x - 1}\right)}{\cos{\left(\log{\left(x - 1 \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{x \tan{\left(x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{x \tan{\left(2 \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{x - 1} - \frac{\tan{\left(2 \right)}}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{x \tan{\left(x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{x \tan{\left(2 \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{x - 1} - \frac{\tan{\left(2 \right)}}{x - 1}\right)$$
=
$$2 + 2 \tan^{2}{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)