Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo*i,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(x \right)} = - \infty i$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right)$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)