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Suma de la serie/ sinn/sqrt(x)1/n^2

Suma de la serie sinn/sqrt(x)1/n^2


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo           
_____          
\    `         
 \     /sin(n)\
  \    |------|
   \   |  ___ |
    )  \\/ x  /
   /   --------
  /        2   
 /        n    
/____,         
n = 1
∑n=1∞1xsin⁡(n)n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \sin{\left(n \right)}}{n^{2}} 
Sum((sin(n)/sqrt(x))/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
1xsin⁡(n)n2\frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \sin{\left(n \right)}}{n^{2}}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin⁡(n)n2xa_{n} = \frac{\sin{\left(n \right)}}{n^{2} \sqrt{x}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞((n+1)2∣sin⁡(n)sin⁡(n+1)∣n2)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \left|{\frac{\sin{\left(n \right)}}{\sin{\left(n + 1 \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src] 
  oo          
____          
\   `         
 \     sin(n) 
  \   --------
  /    2   ___
 /    n *\/ x 
/___,         
n = 1
∑n=1∞sin⁡(n)n2x\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(n \right)}}{n^{2} \sqrt{x}} 
Sum(sin(n)/(n^2*sqrt(x)), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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