Sr Examen

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(cos(n)+sin(n))/(n^2)

Suma de la serie (cos(n)+sin(n))/(n^2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                 
____                 
\   `                
 \    cos(n) + sin(n)
  \   ---------------
  /           2      
 /           n       
/___,                
n = 1                
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(n \right)} + \cos{\left(n \right)}}{n^{2}}$$
Sum((cos(n) + sin(n))/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\sin{\left(n \right)} + \cos{\left(n \right)}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\sin{\left(n \right)} + \cos{\left(n \right)}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \left|{\frac{\sin{\left(n \right)} + \cos{\left(n \right)}}{\sin{\left(n + 1 \right)} + \cos{\left(n + 1 \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \left|{\frac{\sin{\left(n \right)} + \cos{\left(n \right)}}{\sin{\left(n + 1 \right)} + \cos{\left(n + 1 \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Gráfico
Suma de la serie (cos(n)+sin(n))/(n^2)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie