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Suma de la serie/ sin(pi*sqrt(n^2+k^2))

Suma de la serie sin(pi*sqrt(n^2+k^2))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                      
 ___                      
 \  `                     
  \      /      _________\
   )     |     /  2    2 |
  /   sin\pi*\/  n  + k  /
 /__,                     
n = 1
∑n=1∞sin⁡(πk2+n2)\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)} 
Sum(sin(pi*sqrt(n^2 + k^2)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin⁡(πk2+n2)\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin⁡(πk2+n2)a_{n} = \sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞∣sin⁡(πk2+n2)sin⁡(πk2+(n+1)2)∣1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)}}{\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + \left(n + 1\right)^{2}} \right)}}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=lim⁡n→∞∣sin⁡(πk2+n2)sin⁡(πk2+(n+1)2)∣R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)}}{\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + \left(n + 1\right)^{2}} \right)}}}\right|

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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