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Suma de la serie/ sin(9/(2^(k+1)))cos(27/(2^(k+1)))

Suma de la serie sin(9/(2^(k+1)))cos(27/(2^(k+1)))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                         
____                         
\   `                        
 \       /  9   \    /  27  \
  \   sin|------|*cos|------|
  /      | k + 1|    | k + 1|
 /       \2     /    \2     /
/___,                        
n = 1
∑n=1∞sin⁡(92k+1)cos⁡(272k+1)\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(\frac{9}{2^{k + 1}} \right)} \cos{\left(\frac{27}{2^{k + 1}} \right)} 
Sum(sin(9/2^(k + 1))*cos(27/2^(k + 1)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin⁡(92k+1)cos⁡(272k+1)\sin{\left(\frac{9}{2^{k + 1}} \right)} \cos{\left(\frac{27}{2^{k + 1}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin⁡(9⋅2−k−1)cos⁡(27⋅2−k−1)a_{n} = \sin{\left(9 \cdot 2^{- k - 1} \right)} \cos{\left(27 \cdot 2^{- k - 1} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞11 = \lim_{n \to \infty} 1
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src] 
      /    -1 - k\    /   -1 - k\
oo*cos\27*2      /*sin\9*2      /
∞sin⁡(9⋅2−k−1)cos⁡(27⋅2−k−1)\infty \sin{\left(9 \cdot 2^{- k - 1} \right)} \cos{\left(27 \cdot 2^{- k - 1} \right)} 
oo*cos(27*2^(-1 - k))*sin(9*2^(-1 - k))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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