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pi^n/n!
Suma de la serie/ pi^n/n!

Suma de la serie pi^n/n!


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo     
____     
\   `    
 \      n
  \   pi 
  /   ---
 /     n!
/___,    
n = 1
∑n=1∞πnn!\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{n!} 
Sum(pi^n/factorial(n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
πnn!\frac{\pi^{n}}{n!}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=1n!a_{n} = \frac{1}{n!}
y
x0=−πx_{0} = - \pi
,
d=1d = 1
,
c=0c = 0
entonces
R=∞~(−π+lim⁡n→∞∣(n+1)!n!∣)R = \tilde{\infty} \left(- \pi + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\left(n + 1\right)!}{n!}}\right|\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R1=∞R^{1} = \infty
R=∞R = \infty
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.5040
Respuesta [src] 
   /        pi\
   |  1    e  |
pi*|- -- + ---|
   \  pi    pi/
π(−1π+eππ)\pi \left(- \frac{1}{\pi} + \frac{e^{\pi}}{\pi}\right) 
pi*(-1/pi + exp(pi)/pi)
Respuesta numérica [src] 
22.1406926327792690057290863679
22.1406926327792690057290863679
Gráfico
Suma de la serie pi^n/n!

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