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pi^n/n!

Suma de la serie pi^n/n!



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo     
____     
\   `    
 \      n
  \   pi 
  /   ---
 /     n!
/___,    
n = 1    
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{n!}$$
Sum(pi^n/factorial(n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\pi^{n}}{n!}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{n!}$$
y
$$x_{0} = - \pi$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$R = \tilde{\infty} \left(- \pi + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\left(n + 1\right)!}{n!}}\right|\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = \infty$$
$$R = \infty$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
   /        pi\
   |  1    e  |
pi*|- -- + ---|
   \  pi    pi/
$$\pi \left(- \frac{1}{\pi} + \frac{e^{\pi}}{\pi}\right)$$
pi*(-1/pi + exp(pi)/pi)
Respuesta numérica [src]
22.1406926327792690057290863679
22.1406926327792690057290863679
Gráfico
Suma de la serie pi^n/n!

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie