Sr Examen

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Suma de la serie ((arctg(x))^2)/n(n+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                  
____                  
\   `                 
 \        2           
  \   atan (x)        
  /   --------*(n + 1)
 /       n            
/___,                 
n = 1                 
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{n} \left(n + 1\right)$$
Sum((atan(x)^2/n)*(n + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{n} \left(n + 1\right)$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\left(n + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n \left(n + 2\right)}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src]
       2   
oo*atan (x)
$$\infty \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}$$
oo*atan(x)^2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie