Sr Examen

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Suma de la serie exp(-(x*sqrt(n)-1)^2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                  
____                  
\   `                 
 \                   2
  \     /    ___    \ 
  /    -\x*\/ n  - 1/ 
 /    e               
/___,                 
n = 1                 
n=1e(nx1)2\sum_{n=1}^{\infty} e^{- \left(\sqrt{n} x - 1\right)^{2}}
Sum(exp(-(x*sqrt(n) - 1)^2), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
e(nx1)2e^{- \left(\sqrt{n} x - 1\right)^{2}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=e(nx1)2a_{n} = e^{- \left(\sqrt{n} x - 1\right)^{2}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn(en(im(x))2(nre(x)1)2e(n+1)(im(x))2+(n+1re(x)1)2)1 = \lim_{n \to \infty}\left(e^{n \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{n} \operatorname{re}{\left(x\right)} - 1\right)^{2}} e^{- \left(n + 1\right) \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{n + 1} \operatorname{re}{\left(x\right)} - 1\right)^{2}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=e(re(x))2(im(x))2R^{0} = e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}}

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie