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Suma de la serie (arcsin*(n+1)/(2n+3))^n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                
____                
\   `               
 \                 n
  \   /asin(n + 1)\ 
  /   |-----------| 
 /    \  2*n + 3  / 
/___,               
n = 1               
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\operatorname{asin}{\left(n + 1 \right)}}{2 n + 3}\right)^{n}$$
Sum((asin(n + 1)/(2*n + 3))^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(n + 1 \right)}}{2 n + 3}\right)^{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \left(\frac{\operatorname{asin}{\left(n + 1 \right)}}{2 n + 3}\right)^{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(n + 1 \right)}}{2 n + 3}\right)^{n} \left(\frac{\operatorname{asin}{\left(n + 2 \right)}}{2 n + 5}\right)^{- n - 1}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(n + 1 \right)}}{2 n + 3}\right)^{n} \left(\frac{\operatorname{asin}{\left(n + 2 \right)}}{2 n + 5}\right)^{- n - 1}}\right|$$
Respuesta numérica [src]
0.27614047224680014433816294373 - 0.38201150846441225347318117409*i
0.27614047224680014433816294373 - 0.38201150846441225347318117409*i

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie