Se da una serie:
$$\log{\left(n 2 n^{2} + 2 \right)} - \log{\left(\left(2 \left(\sqrt{n}\right)^{2} + n 5 n\right) + 4 \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \log{\left(2 n^{3} + 2 \right)} - \log{\left(5 n^{2} + 2 n + 4 \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\log{\left(2 n^{3} + 2 \right)} - \log{\left(5 n^{2} + 2 n + 4 \right)}}{\log{\left(2 \left(n + 1\right)^{3} + 2 \right)} - \log{\left(2 n + 5 \left(n + 1\right)^{2} + 6 \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{0} = 1$$