Se da una serie:
$$\frac{8}{\pi^{2} \left(2 n + 1\right)^{2}} e^{5 \frac{\pi^{2} \left(- 2 n - 1\right)}{4}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{8 e^{\frac{5 \pi^{2} \left(- 2 n - 1\right)}{4}}}{\pi^{2} \left(2 n + 1\right)^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(2 n + 3\right)^{2} e^{- \frac{5 \pi^{2} \left(2 n + 1\right)}{4}} e^{\frac{5 \pi^{2} \left(2 n + 3\right)}{4}}}{\left(2 n + 1\right)^{2}}\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{0} = e^{\frac{5 \pi^{2}}{2}}$$
$$R^{0} = 51974081715.5226$$