Sr Examen

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sqrt(16n^3+9)/((n^2+4)(n+3))

Suma de la serie sqrt(16n^3+9)/((n^2+4)(n+3))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                   
_____                  
\    `                 
 \         ___________ 
  \       /     3      
   \    \/  16*n  + 9  
   /   ----------------
  /    / 2    \        
 /     \n  + 4/*(n + 3)
/____,                 
n = 1                  
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{16 n^{3} + 9}}{\left(n + 3\right) \left(n^{2} + 4\right)}$$
Sum(sqrt(16*n^3 + 9)/(((n^2 + 4)*(n + 3))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\sqrt{16 n^{3} + 9}}{\left(n + 3\right) \left(n^{2} + 4\right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\sqrt{16 n^{3} + 9}}{\left(n + 3\right) \left(n^{2} + 4\right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 4\right) \sqrt{16 n^{3} + 9} \left(\left(n + 1\right)^{2} + 4\right)}{\left(n + 3\right) \left(n^{2} + 4\right) \sqrt{16 \left(n + 1\right)^{3} + 9}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                   
_____                  
\    `                 
 \         ___________ 
  \       /         3  
   \    \/  9 + 16*n   
   /   ----------------
  /            /     2\
 /     (3 + n)*\4 + n /
/____,                 
n = 1                  
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{16 n^{3} + 9}}{\left(n + 3\right) \left(n^{2} + 4\right)}$$
Sum(sqrt(9 + 16*n^3)/((3 + n)*(4 + n^2)), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie sqrt(16n^3+9)/((n^2+4)(n+3))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie