Derivada de 3*sin(5*x)^(4)+sqrt(cos(x))

1. diferenciamos $3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} + \sqrt{\cos{\left(x \right)}}$ miembro por miembro:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(5 x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 5 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $5 \cos{\left(5 x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $20 \sin^{3}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$

      Entonces, como resultado: $60 \sin^{3}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$

   2. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}}$

   Como resultado de: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}} + 60 \sin^{3}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$

Respuesta:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}} + 60 \sin^{3}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$