Derivada de (sinx-cosx)/(sinx+cosx)

Solución

Ha introducido [src]

sin(x) - cos(x)
---------------
sin(x) + cos(x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

(sin(x) - cos(x))/(sin(x) + cos(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Entonces, como resultado: $\sin{\left(x \right)}$
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)} + 1}$

Respuesta:

$\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)} + 1}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

cos(x) + sin(x)   (-cos(x) + sin(x))*(sin(x) - cos(x))
--------------- + ------------------------------------
sin(x) + cos(x)                             2         
                           (sin(x) + cos(x))

$$\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

/                        2\                   
|    2*(-cos(x) + sin(x)) |                   
|2 + ---------------------|*(-cos(x) + sin(x))
|                       2 |                   
\      (cos(x) + sin(x))  /                   
----------------------------------------------
               cos(x) + sin(x)

$$\frac{\left(\frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 2\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                                /                        2\
                                              2 |    6*(-cos(x) + sin(x)) |
                            (-cos(x) + sin(x)) *|5 + ---------------------|
                        2                       |                       2 |
    3*(-cos(x) + sin(x))                        \      (cos(x) + sin(x))  /
2 + --------------------- + -----------------------------------------------
                       2                                    2              
      (cos(x) + sin(x))                    (cos(x) + sin(x))

$$\frac{\left(\frac{6 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 5\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 2$$

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Gráfico

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Definida a trozos:

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