Derivada de y=1/2*tg^3(sqrt(x))+ln(cos(sqrt(x)))

1. diferenciamos $\log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} + \frac{\tan^{3}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2}$ miembro por miembro:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$.

   3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} - \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos^{4}{\left(\sqrt{x} \right)}} - 2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{4 \sqrt{x}}$

Respuesta:

$\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos^{4}{\left(\sqrt{x} \right)}} - 2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{4 \sqrt{x}}$