Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- uno / cinco *sin(dos *x)+ tres / cinco *cos(dos *x)
- 1 dividir por 5 multiplicar por seno de (2 multiplicar por x) más 3 dividir por 5 multiplicar por coseno de (2 multiplicar por x)
- uno dividir por cinco multiplicar por seno de (dos multiplicar por x) más tres dividir por cinco multiplicar por coseno de (dos multiplicar por x)
- 1/5sin(2x)+3/5cos(2x)
- 1/5sin2x+3/5cos2x
- 1 dividir por 5*sin(2*x)+3 dividir por 5*cos(2*x)
-
Expresiones semejantes
- 1/5*sin(2*x)-3/5*cos(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^2/(x^2*cos(x)^2)
- sin(pi*x)/sin(pi*x)
- sin((pi*x^2)/(1+x^2))
- sin(2*x-pi/4)
- sin(3*x)+3
- Coseno cos
- cos(log(x))+sin(log(x))
- cos(3)/x
- cos((x+pi)/6)-1
- cos(x)*sqrt(x^2+1)
- cos(x^3)+x^3
Gráfico de la función y = 1/5*sin(2*x)+3/5*cos(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
sin(2*x) 3*cos(2*x)
f(x) = -------- + ----------
5 5
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
f = sin(2*x)/5 + 3*cos(2*x)/5
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 13.5126440549549$$
$$x_{2} = -77.5935428991491$$
$$x_{3} = 76.3444971267508$$
$$x_{4} = 46.4993669176478$$
$$x_{5} = 55.9241448784172$$
$$x_{6} = -71.3103575919695$$
$$x_{7} = 82.6276824339304$$
$$x_{8} = -30.4696530953022$$
$$x_{9} = -332.062547839922$$
$$x_{10} = -11.6200971737634$$
$$x_{11} = -47.748412690046$$
$$x_{12} = -32.0404494220971$$
$$x_{13} = -1103.32354429622$$
$$x_{14} = 77.9152934535457$$
$$x_{15} = -24.1864677881226$$
$$x_{16} = -49.3192090168409$$
$$x_{17} = 57.4949412052121$$
$$x_{18} = -76.0227465723542$$
$$x_{19} = 62.2073301855967$$
$$x_{20} = -68.1687649383797$$
$$x_{21} = 48.0701632444427$$
$$x_{22} = 27.649810996109$$
$$x_{23} = -52.4608016704307$$
$$x_{24} = -90.1599135135082$$
$$x_{25} = 40.2161816104682$$
$$x_{26} = 93.6232567214947$$
$$x_{27} = -46.1776163632511$$
$$x_{28} = 90.4816640679049$$
$$x_{29} = 60.6365338588018$$
$$x_{30} = 35.5037926300835$$
$$x_{31} = 29.2206073229039$$
$$x_{32} = -91.7307098403031$$
$$x_{33} = 16.6542367085447$$
$$x_{34} = 10.3710514013651$$
$$x_{35} = -16.3324861541481$$
$$x_{36} = -8.47850452017361$$
$$x_{37} = -19.4740788077379$$
$$x_{38} = 2.51706976739067$$
$$x_{39} = 98.3356457018794$$
$$x_{40} = -69.7395612651746$$
$$x_{41} = -96.4430988206878$$
$$x_{42} = -54.0315979972256$$
$$x_{43} = 99.9064420286743$$
$$x_{44} = 5.65866242098046$$
$$x_{45} = -60.3147833044052$$
$$x_{46} = -61.8855796312001$$
$$x_{47} = -83.8767282063287$$
$$x_{48} = 70.0613118195712$$
$$x_{49} = 38.6453852836733$$
$$x_{50} = 68.4905154927763$$
$$x_{51} = 92.0524603946998$$
$$x_{52} = 96.7648493750845$$
$$x_{53} = -3.76611553978892$$
$$x_{54} = -39.8944310560715$$
$$x_{55} = 32.3621999764937$$
$$x_{56} = -17.903282480943$$
$$x_{57} = 33.9329963032886$$
$$x_{58} = 41.7869779372631$$
$$x_{59} = -33.611245748892$$
$$x_{60} = -5.33691186658382$$
$$x_{61} = -10.0493008469685$$
$$x_{62} = 79.4860897803406$$
$$x_{63} = -93.301506167098$$
$$x_{64} = -27.3280604417124$$
$$x_{65} = 85.7692750875202$$
$$x_{66} = 84.1984787607253$$
$$x_{67} = -82.3059318795337$$
$$x_{68} = -41.4652273828664$$
$$x_{69} = 26.0790146693141$$
$$x_{70} = -2.19531921299402$$
$$x_{71} = -25.7572641149175$$
$$x_{72} = -99.5846914742776$$
$$x_{73} = 11.94184772816$$
$$x_{74} = 71.6321081463661$$
$$x_{75} = -38.3236347292766$$
$$x_{76} = -98.0138951474827$$
$$x_{77} = 24.5082183425192$$
$$x_{78} = 19.7958293621345$$
$$x_{79} = 54.3533485516223$$
$$x_{80} = -308.500602937999$$
$$x_{81} = 18.2250330353396$$
$$x_{82} = -74.4519502455593$$
$$x_{83} = 63.7781265123916$$
$$x_{84} = 4.08786609418556$$
$$x_{85} = -55.6023943240205$$
$$x_{86} = -85.4475245331235$$
$$x_{87} = -63.456375957995$$
$$x_{88} = 49.6409595712376$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 13.5126440549549$$
$$x_{2} = -77.5935428991491$$
$$x_{3} = 76.3444971267508$$
$$x_{4} = 46.4993669176478$$
$$x_{5} = 55.9241448784172$$
$$x_{6} = -71.3103575919695$$
$$x_{7} = 82.6276824339304$$
$$x_{8} = -30.4696530953022$$
$$x_{9} = -332.062547839922$$
$$x_{10} = -11.6200971737634$$
$$x_{11} = -47.748412690046$$
$$x_{12} = -32.0404494220971$$
$$x_{13} = -1103.32354429622$$
$$x_{14} = 77.9152934535457$$
$$x_{15} = -24.1864677881226$$
$$x_{16} = -49.3192090168409$$
$$x_{17} = 57.4949412052121$$
$$x_{18} = -76.0227465723542$$
$$x_{19} = 62.2073301855967$$
$$x_{20} = -68.1687649383797$$
$$x_{21} = 48.0701632444427$$
$$x_{22} = 27.649810996109$$
$$x_{23} = -52.4608016704307$$
$$x_{24} = -90.1599135135082$$
$$x_{25} = 40.2161816104682$$
$$x_{26} = 93.6232567214947$$
$$x_{27} = -46.1776163632511$$
$$x_{28} = 90.4816640679049$$
$$x_{29} = 60.6365338588018$$
$$x_{30} = 35.5037926300835$$
$$x_{31} = 29.2206073229039$$
$$x_{32} = -91.7307098403031$$
$$x_{33} = 16.6542367085447$$
$$x_{34} = 10.3710514013651$$
$$x_{35} = -16.3324861541481$$
$$x_{36} = -8.47850452017361$$
$$x_{37} = -19.4740788077379$$
$$x_{38} = 2.51706976739067$$
$$x_{39} = 98.3356457018794$$
$$x_{40} = -69.7395612651746$$
$$x_{41} = -96.4430988206878$$
$$x_{42} = -54.0315979972256$$
$$x_{43} = 99.9064420286743$$
$$x_{44} = 5.65866242098046$$
$$x_{45} = -60.3147833044052$$
$$x_{46} = -61.8855796312001$$
$$x_{47} = -83.8767282063287$$
$$x_{48} = 70.0613118195712$$
$$x_{49} = 38.6453852836733$$
$$x_{50} = 68.4905154927763$$
$$x_{51} = 92.0524603946998$$
$$x_{52} = 96.7648493750845$$
$$x_{53} = -3.76611553978892$$
$$x_{54} = -39.8944310560715$$
$$x_{55} = 32.3621999764937$$
$$x_{56} = -17.903282480943$$
$$x_{57} = 33.9329963032886$$
$$x_{58} = 41.7869779372631$$
$$x_{59} = -33.611245748892$$
$$x_{60} = -5.33691186658382$$
$$x_{61} = -10.0493008469685$$
$$x_{62} = 79.4860897803406$$
$$x_{63} = -93.301506167098$$
$$x_{64} = -27.3280604417124$$
$$x_{65} = 85.7692750875202$$
$$x_{66} = 84.1984787607253$$
$$x_{67} = -82.3059318795337$$
$$x_{68} = -41.4652273828664$$
$$x_{69} = 26.0790146693141$$
$$x_{70} = -2.19531921299402$$
$$x_{71} = -25.7572641149175$$
$$x_{72} = -99.5846914742776$$
$$x_{73} = 11.94184772816$$
$$x_{74} = 71.6321081463661$$
$$x_{75} = -38.3236347292766$$
$$x_{76} = -98.0138951474827$$
$$x_{77} = 24.5082183425192$$
$$x_{78} = 19.7958293621345$$
$$x_{79} = 54.3533485516223$$
$$x_{80} = -308.500602937999$$
$$x_{81} = 18.2250330353396$$
$$x_{82} = -74.4519502455593$$
$$x_{83} = 63.7781265123916$$
$$x_{84} = 4.08786609418556$$
$$x_{85} = -55.6023943240205$$
$$x_{86} = -85.4475245331235$$
$$x_{87} = -63.456375957995$$
$$x_{88} = 49.6409595712376$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{6 \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{6 \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
____
atan(1/3) \/ 10
(---------, ------)
2 5 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right)}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right)}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x)/5 + 3*cos(2*x)/5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar