Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 1/5*sin(2*x)+3/5*cos(2*x)

Gráfico de la función y = 1/5*sin(2*x)+3/5*cos(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(2*x)   3*cos(2*x)
f(x) = -------- + ----------
          5           5
f(x)=sin⁡(2x)5+3cos⁡(2x)5f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} 
f = sin(2*x)/5 + 3*cos(2*x)/5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)5+3cos⁡(2x)5=0\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(3)2x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}
Solución numérica
x1=13.5126440549549x_{1} = 13.5126440549549
x2=−77.5935428991491x_{2} = -77.5935428991491
x3=76.3444971267508x_{3} = 76.3444971267508
x4=46.4993669176478x_{4} = 46.4993669176478
x5=55.9241448784172x_{5} = 55.9241448784172
x6=−71.3103575919695x_{6} = -71.3103575919695
x7=82.6276824339304x_{7} = 82.6276824339304
x8=−30.4696530953022x_{8} = -30.4696530953022
x9=−332.062547839922x_{9} = -332.062547839922
x10=−11.6200971737634x_{10} = -11.6200971737634
x11=−47.748412690046x_{11} = -47.748412690046
x12=−32.0404494220971x_{12} = -32.0404494220971
x13=−1103.32354429622x_{13} = -1103.32354429622
x14=77.9152934535457x_{14} = 77.9152934535457
x15=−24.1864677881226x_{15} = -24.1864677881226
x16=−49.3192090168409x_{16} = -49.3192090168409
x17=57.4949412052121x_{17} = 57.4949412052121
x18=−76.0227465723542x_{18} = -76.0227465723542
x19=62.2073301855967x_{19} = 62.2073301855967
x20=−68.1687649383797x_{20} = -68.1687649383797
x21=48.0701632444427x_{21} = 48.0701632444427
x22=27.649810996109x_{22} = 27.649810996109
x23=−52.4608016704307x_{23} = -52.4608016704307
x24=−90.1599135135082x_{24} = -90.1599135135082
x25=40.2161816104682x_{25} = 40.2161816104682
x26=93.6232567214947x_{26} = 93.6232567214947
x27=−46.1776163632511x_{27} = -46.1776163632511
x28=90.4816640679049x_{28} = 90.4816640679049
x29=60.6365338588018x_{29} = 60.6365338588018
x30=35.5037926300835x_{30} = 35.5037926300835
x31=29.2206073229039x_{31} = 29.2206073229039
x32=−91.7307098403031x_{32} = -91.7307098403031
x33=16.6542367085447x_{33} = 16.6542367085447
x34=10.3710514013651x_{34} = 10.3710514013651
x35=−16.3324861541481x_{35} = -16.3324861541481
x36=−8.47850452017361x_{36} = -8.47850452017361
x37=−19.4740788077379x_{37} = -19.4740788077379
x38=2.51706976739067x_{38} = 2.51706976739067
x39=98.3356457018794x_{39} = 98.3356457018794
x40=−69.7395612651746x_{40} = -69.7395612651746
x41=−96.4430988206878x_{41} = -96.4430988206878
x42=−54.0315979972256x_{42} = -54.0315979972256
x43=99.9064420286743x_{43} = 99.9064420286743
x44=5.65866242098046x_{44} = 5.65866242098046
x45=−60.3147833044052x_{45} = -60.3147833044052
x46=−61.8855796312001x_{46} = -61.8855796312001
x47=−83.8767282063287x_{47} = -83.8767282063287
x48=70.0613118195712x_{48} = 70.0613118195712
x49=38.6453852836733x_{49} = 38.6453852836733
x50=68.4905154927763x_{50} = 68.4905154927763
x51=92.0524603946998x_{51} = 92.0524603946998
x52=96.7648493750845x_{52} = 96.7648493750845
x53=−3.76611553978892x_{53} = -3.76611553978892
x54=−39.8944310560715x_{54} = -39.8944310560715
x55=32.3621999764937x_{55} = 32.3621999764937
x56=−17.903282480943x_{56} = -17.903282480943
x57=33.9329963032886x_{57} = 33.9329963032886
x58=41.7869779372631x_{58} = 41.7869779372631
x59=−33.611245748892x_{59} = -33.611245748892
x60=−5.33691186658382x_{60} = -5.33691186658382
x61=−10.0493008469685x_{61} = -10.0493008469685
x62=79.4860897803406x_{62} = 79.4860897803406
x63=−93.301506167098x_{63} = -93.301506167098
x64=−27.3280604417124x_{64} = -27.3280604417124
x65=85.7692750875202x_{65} = 85.7692750875202
x66=84.1984787607253x_{66} = 84.1984787607253
x67=−82.3059318795337x_{67} = -82.3059318795337
x68=−41.4652273828664x_{68} = -41.4652273828664
x69=26.0790146693141x_{69} = 26.0790146693141
x70=−2.19531921299402x_{70} = -2.19531921299402
x71=−25.7572641149175x_{71} = -25.7572641149175
x72=−99.5846914742776x_{72} = -99.5846914742776
x73=11.94184772816x_{73} = 11.94184772816
x74=71.6321081463661x_{74} = 71.6321081463661
x75=−38.3236347292766x_{75} = -38.3236347292766
x76=−98.0138951474827x_{76} = -98.0138951474827
x77=24.5082183425192x_{77} = 24.5082183425192
x78=19.7958293621345x_{78} = 19.7958293621345
x79=54.3533485516223x_{79} = 54.3533485516223
x80=−308.500602937999x_{80} = -308.500602937999
x81=18.2250330353396x_{81} = 18.2250330353396
x82=−74.4519502455593x_{82} = -74.4519502455593
x83=63.7781265123916x_{83} = 63.7781265123916
x84=4.08786609418556x_{84} = 4.08786609418556
x85=−55.6023943240205x_{85} = -55.6023943240205
x86=−85.4475245331235x_{86} = -85.4475245331235
x87=−63.456375957995x_{87} = -63.456375957995
x88=49.6409595712376x_{88} = 49.6409595712376
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x)/5 + 3*cos(2*x)/5.
sin⁡(0⋅2)5+3cos⁡(0⋅2)5\frac{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}{5}
Resultado:
f(0)=35f{\left(0 \right)} = \frac{3}{5}
Punto:
(0, 3/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6sin⁡(2x)5+2cos⁡(2x)5=0- \frac{6 \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(13)2x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
              ____ 
 atan(1/3)  \/ 10  
(---------, ------)
     2        5


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(13)2x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(13)2]\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(13)2,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(sin⁡(2x)+3cos⁡(2x))5=0- \frac{4 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right)}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(3)2x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(3)2]\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(3)2,∞)\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)5+3cos⁡(2x)5)=⟨−45,45⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−45,45⟩y = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)5+3cos⁡(2x)5)=⟨−45,45⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−45,45⟩y = \left\langle - \frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x)/5 + 3*cos(2*x)/5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)5+3cos⁡(2x)5x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)5+3cos⁡(2x)5x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x)5+3cos⁡(2x)5=−sin⁡(2x)5+3cos⁡(2x)5\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}
- No
sin⁡(2x)5+3cos⁡(2x)5=sin⁡(2x)5−3cos⁡(2x)5\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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