Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (exp(x)*(cos(x)-x*cos(x)+x*sin(x)))/2

Gráfico de la función y = (exp(x)*(cos(x)-x*cos(x)+x*sin(x)))/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x                               
       e *(cos(x) - x*cos(x) + x*sin(x))
f(x) = ---------------------------------
                       2
f(x)=(xsin⁡(x)+(−xcos⁡(x)+cos⁡(x)))ex2f{\left(x \right)} = \frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}}{2} 
f = ((x*sin(x) - x*cos(x) + cos(x))*exp(x))/2
Gráfico de la función
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.21.00.00.20.40.60.80.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(xsin⁡(x)+(−xcos⁡(x)+cos⁡(x)))ex2=0\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−43.1854540292704x_{1} = -43.1854540292704
x2=25.8984556983654x_{2} = 25.8984556983654
x3=−18.0371914942542x_{3} = -18.0371914942542
x4=−30.6144600567864x_{4} = -30.6144600567864
x5=−8.58439584086157x_{5} = -8.58439584086157
x6=−14.8900880847917x_{6} = -14.8900880847917
x7=−62.0384599985962x_{7} = -62.0384599985962
x8=−36.9003456156361x_{8} = -36.9003456156361
x9=−90.315283165105x_{9} = -90.315283165105
x10=−58.8964444413399x_{10} = -58.8964444413399
x11=−5.41343454978119x_{11} = -5.41343454978119
x12=6.99171397294222x_{12} = 6.99171397294222
x13=−33.7575267296448x_{13} = -33.7575267296448
x14=−80.8898676363837x_{14} = -80.8898676363837
x15=−77.7480283259493x_{15} = -77.7480283259493
x16=22.7540827305528x_{16} = 22.7540827305528
x17=−87.1734932209778x_{17} = -87.1734932209778
x18=29.0422159262667x_{18} = 29.0422159262667
x19=−93.4570599146458x_{19} = -93.4570599146458
x20=19.6087940910157x_{20} = 19.6087940910157
x21=−84.0316886109242x_{21} = -84.0316886109242
x22=−68.3223752642964x_{22} = -68.3223752642964
x23=−71.4642850900844x_{23} = -71.4642850900844
x24=−27.4710620052193x_{24} = -27.4710620052193
x25=−52.6122632039851x_{25} = -52.6122632039851
x26=−24.3272065905731x_{26} = -24.3272065905731
x27=−40.0429743654917x_{27} = -40.0429743654917
x28=−99.7405787929127x_{28} = -99.7405787929127
x29=−55.754381638728x_{29} = -55.754381638728
x30=−65.1804350919889x_{30} = -65.1804350919889
x31=13.3127649854021x_{31} = 13.3127649854021
x32=−11.7401459632485x_{32} = -11.7401459632485
x33=10.1584541766013x_{33} = 10.1584541766013
x34=3.77551226807681x_{34} = 3.77551226807681
x35=−21.182694633356x_{35} = -21.182694633356
x36=−46.3278146314103x_{36} = -46.3278146314103
x37=−49.4700786400964x_{37} = -49.4700786400964
x38=−2.171150616426x_{38} = -2.171150616426
x39=−96.5988247504869x_{39} = -96.5988247504869
x40=16.4620473680961x_{40} = 16.4620473680961
x41=−74.6061683782845x_{41} = -74.6061683782845
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (exp(x)*(cos(x) - x*cos(x) + x*sin(x)))/2.
(0sin⁡(0)+(−0cos⁡(0)+cos⁡(0)))e02\frac{\left(0 \sin{\left(0 \right)} + \left(- 0 \cos{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right)\right) e^{0}}{2}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(xsin⁡(x)+(−xcos⁡(x)+cos⁡(x)))ex2+(xsin⁡(x)+xcos⁡(x)−cos⁡(x))ex2=0\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}}{2} + \frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
    1 
(0, -)
    2 

                pi 
     (-1 + pi)*e   
(pi, -------------)
           2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=πx_{2} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,π]\left(-\infty, \pi\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(xsin⁡(x)+xcos⁡(x)+sin⁡(x))ex=0\left(x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−10.2613537997497x_{1} = -10.2613537997497
x2=−76.1902276260569x_{2} = -76.1902276260569
x3=−79.3315570557189x_{3} = -79.3315570557189
x4=−19.6610427777074x_{4} = -19.6610427777074
x5=14.9549060107419x_{5} = 14.9549060107419
x6=2.52025542588455x_{6} = 2.52025542588455
x7=0x_{7} = 0
x8=−22.7989655466536x_{8} = -22.7989655466536
x9=−98.1798891409031x_{9} = -98.1798891409031
x10=−35.3572605830509x_{10} = -35.3572605830509
x11=−47.919831688167x_{11} = -47.919831688167
x12=−1.32842662320324x_{12} = -1.32842662320324
x13=21.2287573315256x_{13} = 21.2287573315256
x14=−41.6382561985925x_{14} = -41.6382561985925
x15=27.5067866382649x_{15} = 27.5067866382649
x16=−82.4729066574052x_{16} = -82.4729066574052
x17=−95.038466574223x_{17} = -95.038466574223
x18=−25.9377926548812x_{18} = -25.9377926548812
x19=18.0910459439885x_{19} = 18.0910459439885
x20=−7.14370111864923x_{20} = -7.14370111864923
x21=−38.4976679493542x_{21} = -38.4976679493542
x22=−51.0607693885089x_{22} = -51.0607693885089
x23=−44.7789868716883x_{23} = -44.7789868716883
x24=8.69371127497694x_{24} = 8.69371127497694
x25=−32.2170877665294x_{25} = -32.2170877665294
x26=−69.9076402356465x_{26} = -69.9076402356465
x27=11.821529576608x_{27} = 11.821529576608
x28=5.57984147784894x_{28} = 5.57984147784894
x29=−85.6142741980587x_{29} = -85.6142741980587
x30=−16.5245534289837x_{30} = -16.5245534289837
x31=−91.8970556986738x_{31} = -91.8970556986738
x32=−60.4839939455455x_{32} = -60.4839939455455
x33=−101.321322306037x_{33} = -101.321322306037
x34=−73.0489209881083x_{34} = -73.0489209881083
x35=−63.6251718400706x_{35} = -63.6251718400706
x36=−88.7556577624704x_{36} = -88.7556577624704
x37=−13.3905374849088x_{37} = -13.3905374849088
x38=−57.3428618803743x_{38} = -57.3428618803743
x39=−54.2017836830983x_{39} = -54.2017836830983
x40=24.3674469641161x_{40} = 24.3674469641161
x41=−110.745676333198x_{41} = -110.745676333198
x42=−4.06628479803594x_{42} = -4.06628479803594
x43=−66.7663890488394x_{43} = -66.7663890488394
x44=−29.0772267100229x_{44} = -29.0772267100229

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[24.3674469641161,∞)\left[24.3674469641161, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−110.745676333198]\left(-\infty, -110.745676333198\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((xsin⁡(x)+(−xcos⁡(x)+cos⁡(x)))ex2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}}{2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞((xsin⁡(x)+(−xcos⁡(x)+cos⁡(x)))ex2)y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}}{2}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (exp(x)*(cos(x) - x*cos(x) + x*sin(x)))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((xsin⁡(x)+(−xcos⁡(x)+cos⁡(x)))ex2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞((xsin⁡(x)+(−xcos⁡(x)+cos⁡(x)))ex2x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}}{2 x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(xsin⁡(x)+(−xcos⁡(x)+cos⁡(x)))ex2=(xsin⁡(x)+xcos⁡(x)+cos⁡(x))e−x2\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}}{2} = \frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}}{2}
- No
(xsin⁡(x)+(−xcos⁡(x)+cos⁡(x)))ex2=−(xsin⁡(x)+xcos⁡(x)+cos⁡(x))e−x2\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}}{2} = - \frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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