Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -1-exp(-3*t)-33*cos(2*t)/26-32*t/3+15*sin(2*t)/13

Gráfico de la función y = -1-exp(-3*t)-33*cos(2*t)/26-32*t/3+15*sin(2*t)/13

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             -3*t   33*cos(2*t)   32*t   15*sin(2*t)
f(t) = -1 - e     - ----------- - ---- + -----------
                         26        3          13
f(t)=(−32t3+((−1−e−3t)−33cos⁡(2t)26))+15sin⁡(2t)13f{\left(t \right)} = \left(- \frac{32 t}{3} + \left(\left(-1 - e^{- 3 t}\right) - \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26}\right)\right) + \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13} 
f = -32*t/3 - 1 - exp(-3*t) - 33*cos(2*t)/26 + (15*sin(2*t))/13
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000000000000010000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−32t3+((−1−e−3t)−33cos⁡(2t)26))+15sin⁡(2t)13=0\left(- \frac{32 t}{3} + \left(\left(-1 - e^{- 3 t}\right) - \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26}\right)\right) + \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en -1 - exp(-3*t) - 33*cos(2*t)/26 - 32*t/3 + (15*sin(2*t))/13.
(((−1−e−0)−33cos⁡(0⋅2)26)−0⋅323)+15sin⁡(0⋅2)13\left(\left(\left(-1 - e^{- 0}\right) - \frac{33 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}{26}\right) - \frac{0 \cdot 32}{3}\right) + \frac{15 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}{13}
Resultado:
f(0)=−8526f{\left(0 \right)} = - \frac{85}{26}
Punto:
(0, -85/26)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
33sin⁡(2t)13+30cos⁡(2t)13−323+3e−3t=0\frac{33 \sin{\left(2 t \right)}}{13} + \frac{30 \cos{\left(2 t \right)}}{13} - \frac{32}{3} + 3 e^{- 3 t} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=−0.437104485592643t_{1} = -0.437104485592643
t2=−0.437104485592645t_{2} = -0.437104485592645
Signos de extremos en los puntos:
(-0.4371044855926433, -1.74798204286081)

(-0.43710448559264464, -1.74798204286081)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
t2=−0.437104485592643t_{2} = -0.437104485592643
t2=−0.437104485592645t_{2} = -0.437104485592645
Decrece en los intervalos
(−∞,−0.437104485592645]\left(-\infty, -0.437104485592645\right]
Crece en los intervalos
[−0.437104485592643,∞)\left[-0.437104485592643, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
3(−20sin⁡(2t)13+22cos⁡(2t)13−3e−3t)=03 \left(- \frac{20 \sin{\left(2 t \right)}}{13} + \frac{22 \cos{\left(2 t \right)}}{13} - 3 e^{- 3 t}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=52.2527694175688t_{1} = 52.2527694175688
t2=89.9518812606463t_{2} = 89.9518812606463
t3=39.6863988032096t_{3} = 39.6863988032096
t4=23.9784355352607t_{4} = 23.9784355352607
t5=44.3987877835943t_{5} = 44.3987877835943
t6=1.98896737543917t_{6} = 1.98896737543917
t7=6.69967593929243t_{7} = 6.69967593929243
t8=66.3899363587229t_{8} = 66.3899363587229
t9=93.0934739142361t_{9} = 93.0934739142361
t10=83.6686959534667t_{10} = 83.6686959534667
t11=38.1156024764147t_{11} = 38.1156024764147
t12=50.6819730907739t_{12} = 50.6819730907739
t13=45.9695841103892t_{13} = 45.9695841103892
t14=97.8058628946208t_{14} = 97.8058628946208
t15=88.3810849338514t_{15} = 88.3810849338514
t16=36.5448061496198t_{16} = 36.5448061496198
t17=71.1023253391076t_{17} = 71.1023253391076
t18=61.6775473783382t_{18} = 61.6775473783382
t19=30.2616208424403t_{19} = 30.2616208424403
t20=17.6952502280811t_{20} = 17.6952502280811
t21=67.9607326855178t_{21} = 67.9607326855178
t22=82.0978996266718t_{22} = 82.0978996266718
t23=3.55806811431214t_{23} = 3.55806811431214
t24=94.664270241031t_{24} = 94.664270241031
t25=72.6731216659025t_{25} = 72.6731216659025
t26=25.5492318620556t_{26} = 25.5492318620556
t27=69.5315290123127t_{27} = 69.5315290123127
t28=28.6908245156454t_{28} = 28.6908245156454
t29=74.2439179926974t_{29} = 74.2439179926974
t30=14.5536575744913t_{30} = 14.5536575744913
t31=60.1067510515433t_{31} = 60.1067510515433
t32=22.4076392084658t_{32} = 22.4076392084658
t33=91.5226775874412t_{33} = 91.5226775874412
t34=16.1244539012862t_{34} = 16.1244539012862
t35=47.5403804371841t_{35} = 47.5403804371841
t36=31.8324171692351t_{36} = 31.8324171692351
t37=9.8412685941065t_{37} = 9.8412685941065
t38=58.5359547247484t_{38} = 58.5359547247484
t39=80.5271032998769t_{39} = 80.5271032998769
t40=75.8147143194923t_{40} = 75.8147143194923
t41=8.2704722673227t_{41} = 8.2704722673227
t42=96.2350665678259t_{42} = 96.2350665678259
t43=53.8235657443637t_{43} = 53.8235657443637

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[96.2350665678259,∞)\left[96.2350665678259, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1.98896737543917]\left(-\infty, 1.98896737543917\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞((−32t3+((−1−e−3t)−33cos⁡(2t)26))+15sin⁡(2t)13)=−∞\lim_{t \to -\infty}\left(\left(- \frac{32 t}{3} + \left(\left(-1 - e^{- 3 t}\right) - \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26}\right)\right) + \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡t→∞((−32t3+((−1−e−3t)−33cos⁡(2t)26))+15sin⁡(2t)13)=−∞\lim_{t \to \infty}\left(\left(- \frac{32 t}{3} + \left(\left(-1 - e^{- 3 t}\right) - \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26}\right)\right) + \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1 - exp(-3*t) - 33*cos(2*t)/26 - 32*t/3 + (15*sin(2*t))/13, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞((−32t3+((−1−e−3t)−33cos⁡(2t)26))+15sin⁡(2t)13t)=∞\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{32 t}{3} + \left(\left(-1 - e^{- 3 t}\right) - \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26}\right)\right) + \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13}}{t}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡t→∞((−32t3+((−1−e−3t)−33cos⁡(2t)26))+15sin⁡(2t)13t)=−323\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{32 t}{3} + \left(\left(-1 - e^{- 3 t}\right) - \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26}\right)\right) + \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13}}{t}\right) = - \frac{32}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−32t3y = - \frac{32 t}{3}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
(−32t3+((−1−e−3t)−33cos⁡(2t)26))+15sin⁡(2t)13=32t3−e3t−15sin⁡(2t)13−33cos⁡(2t)26−1\left(- \frac{32 t}{3} + \left(\left(-1 - e^{- 3 t}\right) - \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26}\right)\right) + \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13} = \frac{32 t}{3} - e^{3 t} - \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13} - \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26} - 1
- No
(−32t3+((−1−e−3t)−33cos⁡(2t)26))+15sin⁡(2t)13=−32t3+e3t+15sin⁡(2t)13+33cos⁡(2t)26+1\left(- \frac{32 t}{3} + \left(\left(-1 - e^{- 3 t}\right) - \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26}\right)\right) + \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13} = - \frac{32 t}{3} + e^{3 t} + \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{13} + \frac{33 \cos{\left(2 t \right)}}{26} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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