Sr Examen

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Gráfico de la función y = -7*exp(2*x)/225+(-218*cos(x*sqrt(11)/2)/225-656*sqrt(11)*sin(x*sqrt(11)/2)/2475)*exp(-3*x/2)+x*exp(2*x)/15

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                 /        /    ____\                 /    ____\\               
                 |        |x*\/ 11 |         ____    |x*\/ 11 ||  -3*x         
           2*x   |-218*cos|--------|   656*\/ 11 *sin|--------||  ----      2*x
       -7*e      |        \   2    /                 \   2    /|   2     x*e   
f(x) = ------- + |------------------ - ------------------------|*e     + ------
         225     \       225                     2475          /           15  
$$f{\left(x \right)} = \frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right)$$
f = (x*exp(2*x))/15 + (-(656*sqrt(11))*sin((sqrt(11)*x)/2)/2475 + (-218*cos((sqrt(11)*x)/2))/225)*exp((-3*x)/2) + (-7*exp(2*x))/225
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -8.08070495748028$$
$$x_{2} = -4.29180170086958$$
$$x_{3} = -6.1862533072004$$
$$x_{4} = -11.8696082578781$$
$$x_{5} = -15.658511558276$$
$$x_{6} = -9.9751566076791$$
$$x_{7} = -0.507959874347631$$
$$x_{8} = -13.764059908077$$
$$x_{9} = -19.4474148586739$$
$$x_{10} = 0.946777339644005$$
$$x_{11} = -17.552963208475$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-7*exp(2*x))/225 + ((-218*cos((x*sqrt(11))/2))/225 - (656*sqrt(11))*sin((x*sqrt(11))/2)/2475)*exp((-3*x)/2) + (x*exp(2*x))/15.
$$\left(\left(\frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{0 \sqrt{11}}{2} \right)}}{225} - \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{0 \sqrt{11}}{2} \right)}}{2475}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 0 \cdot 3}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{0 \cdot 2}}{225}\right) + \frac{0 e^{0 \cdot 2}}{15}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x e^{2 x}}{15} + \left(\frac{109 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225} - \frac{328 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} - \frac{3 \left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}}}{2} + \frac{e^{2 x}}{225} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.89360314144266$$
$$x_{2} = -13.26024538169$$
$$x_{3} = -7.57689043109246$$
$$x_{4} = -3.78798695047204$$
$$x_{5} = -15.154697031889$$
$$x_{6} = -18.9436003322869$$
$$x_{7} = -11.365793731491$$
$$x_{8} = -5.68243878125188$$
$$x_{9} = -17.0491486820879$$
$$x_{10} = -9.47134208129205$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                 /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-1.8936031414426604, -0.00356539459283218 - 16.5899878651877*cos\0.94680157072133*\/ 11 / + 4.53837866537244*\/ 11 *sin\0.94680157072133*\/ 11 /)

                                                                  /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-13.260245381689986, -2.77829780690118e-12 - 421260823.521205*cos\6.63012269084499*\/ 11 / + 115240658.978278*\/ 11 *sin\6.63012269084499*\/ 11 /)

                                                                /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-7.576890431092457, -1.40654451525865e-7 - 83594.2742774718*cos\3.78844521554623*\/ 11 / + 22868.1584345378*\/ 11 *sin\3.78844521554623*\/ 11 /)

                                                                 /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-3.787986950472043, -0.000145401634807167 - 284.398119656837*cos\1.89399347523602*\/ 11 / + 77.8003196392349*\/ 11 *sin\1.89399347523602*\/ 11 /)

                                                                 /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-15.15469703188895, -7.15196026653836e-14 - 7222306570.41447*cos\7.57734851594448*\/ 11 / + 1975743582.23181*\/ 11 *sin\7.57734851594448*\/ 11 /)

                                                                  /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-18.943600332286884, -4.54713729059076e-17 - 2122880818901.01*cos\9.47180016614344*\/ 11 / + 580738038865.332*\/ 11 *sin\9.47180016614344*\/ 11 /)

                                                                  /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-11.365793731491019, -1.05871922766087e-10 - 24571192.0012804*cos\5.68289686574551*\/ 11 / + 6721727.25306086*\/ 11 *sin\5.68289686574551*\/ 11 /)

                                                                /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-5.682438781251884, -4.75353907943082e-6 - 4875.86514078085*cos\2.84121939062594*\/ 11 / + 1333.84801182328*\/ 11 *sin\2.84121939062594*\/ 11 /)

                                                                 /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-17.049148682087917, -1.8139976145223e-15 - 123822841538.044*cos\8.52457434104396*\/ 11 / + 33873137635.0947*\/ 11 *sin\8.52457434104396*\/ 11 /)

                                                                /                   ____\                     ____    /                   ____\ 
(-9.471342081292054, -3.93101690433307e-9 - 1433182.11106663*cos\4.73567104064603*\/ 11 / + 392063.16299404*\/ 11 *sin\4.73567104064603*\/ 11 /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -7.57689043109246$$
$$x_{2} = -3.78798695047204$$
$$x_{3} = -15.154697031889$$
$$x_{4} = -18.9436003322869$$
$$x_{5} = -11.365793731491$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{5} = -1.89360314144266$$
$$x_{5} = -13.26024538169$$
$$x_{5} = -5.68243878125188$$
$$x_{5} = -17.0491486820879$$
$$x_{5} = -9.47134208129205$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-3.78798695047204, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -18.9436003322869\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{660 x e^{2 x} - 33 \left(109 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)} - 328 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{3 x}{2}} + \left(328 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)} + 1199 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{3 x}{2}} + 352 e^{2 x}}{2475} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8.967527554905$$
$$x_{2} = -14.6508825055019$$
$$x_{3} = -10.861979205104$$
$$x_{4} = -16.5453341557009$$
$$x_{5} = -5.1786242529725$$
$$x_{6} = -7.07307590470889$$
$$x_{7} = -12.7564308553029$$
$$x_{8} = -1.38955837731169$$
$$x_{9} = -3.28417329306054$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1.38955837731169, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -16.5453341557009\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right)\right) = - \infty \left(\left\langle -1199, 1199\right\rangle + \sqrt{11} \left\langle -328, 328\right\rangle\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \infty \left(\left\langle -1199, 1199\right\rangle + \sqrt{11} \left\langle -328, 328\right\rangle\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-7*exp(2*x))/225 + ((-218*cos((x*sqrt(11))/2))/225 - (656*sqrt(11))*sin((x*sqrt(11))/2)/2475)*exp((-3*x)/2) + (x*exp(2*x))/15, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right)}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right) = - \frac{x e^{- 2 x}}{15} + \left(\frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} - \frac{218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{3 x}{2}} - \frac{7 e^{- 2 x}}{225}$$
- No
$$\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right) = \frac{x e^{- 2 x}}{15} - \left(\frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} - \frac{218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{3 x}{2}} + \frac{7 e^{- 2 x}}{225}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar