Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -7*exp(2*x)/225+(-218*cos(x*sqrt(11)/2)/225-656*sqrt(11)*sin(x*sqrt(11)/2)/2475)*exp(-3*x/2)+x*exp(2*x)/15

Gráfico de la función y = -7*exp(2*x)/225+(-218*cos(x*sqrt(11)/2)/225-656*sqrt(11)*sin(x*sqrt(11)/2)/2475)*exp(-3*x/2)+x*exp(2*x)/15

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 /        /    ____\                 /    ____\\               
                 |        |x*\/ 11 |         ____    |x*\/ 11 ||  -3*x         
           2*x   |-218*cos|--------|   656*\/ 11 *sin|--------||  ----      2*x
       -7*e      |        \   2    /                 \   2    /|   2     x*e   
f(x) = ------- + |------------------ - ------------------------|*e     + ------
         225     \       225                     2475          /           15
f(x)=xe2x15+((−65611sin⁡(11x2)2475+(−1)218cos⁡(11x2)225)e(−1)3x2+(−1)7e2x225)f{\left(x \right)} = \frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right) 
f = (x*exp(2*x))/15 + (-(656*sqrt(11))*sin((sqrt(11)*x)/2)/2475 + (-218*cos((sqrt(11)*x)/2))/225)*exp((-3*x)/2) + (-7*exp(2*x))/225
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000000500000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xe2x15+((−65611sin⁡(11x2)2475+(−1)218cos⁡(11x2)225)e(−1)3x2+(−1)7e2x225)=0\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−8.08070495748028x_{1} = -8.08070495748028
x2=−4.29180170086958x_{2} = -4.29180170086958
x3=−6.1862533072004x_{3} = -6.1862533072004
x4=−11.8696082578781x_{4} = -11.8696082578781
x5=−15.658511558276x_{5} = -15.658511558276
x6=−9.9751566076791x_{6} = -9.9751566076791
x7=−0.507959874347631x_{7} = -0.507959874347631
x8=−13.764059908077x_{8} = -13.764059908077
x9=−19.4474148586739x_{9} = -19.4474148586739
x10=0.946777339644005x_{10} = 0.946777339644005
x11=−17.552963208475x_{11} = -17.552963208475
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-7*exp(2*x))/225 + ((-218*cos((x*sqrt(11))/2))/225 - (656*sqrt(11))*sin((x*sqrt(11))/2)/2475)*exp((-3*x)/2) + (x*exp(2*x))/15.
(((−1)218cos⁡(0112)225−65611sin⁡(0112)2475)e(−1)0⋅32+(−1)7e0⋅2225)+0e0⋅215\left(\left(\frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{0 \sqrt{11}}{2} \right)}}{225} - \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{0 \sqrt{11}}{2} \right)}}{2475}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 0 \cdot 3}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{0 \cdot 2}}{225}\right) + \frac{0 e^{0 \cdot 2}}{15}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xe2x15+(10911sin⁡(11x2)225−328cos⁡(11x2)225)e(−1)3x2−3(−65611sin⁡(11x2)2475+(−1)218cos⁡(11x2)225)e(−1)3x22+e2x225=0\frac{2 x e^{2 x}}{15} + \left(\frac{109 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225} - \frac{328 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} - \frac{3 \left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}}}{2} + \frac{e^{2 x}}{225} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.89360314144266x_{1} = -1.89360314144266
x2=−13.26024538169x_{2} = -13.26024538169
x3=−7.57689043109246x_{3} = -7.57689043109246
x4=−3.78798695047204x_{4} = -3.78798695047204
x5=−15.154697031889x_{5} = -15.154697031889
x6=−18.9436003322869x_{6} = -18.9436003322869
x7=−11.365793731491x_{7} = -11.365793731491
x8=−5.68243878125188x_{8} = -5.68243878125188
x9=−17.0491486820879x_{9} = -17.0491486820879
x10=−9.47134208129205x_{10} = -9.47134208129205
Signos de extremos en los puntos:
                                                                 /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-1.8936031414426604, -0.00356539459283218 - 16.5899878651877*cos\0.94680157072133*\/ 11 / + 4.53837866537244*\/ 11 *sin\0.94680157072133*\/ 11 /)

                                                                  /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-13.260245381689986, -2.77829780690118e-12 - 421260823.521205*cos\6.63012269084499*\/ 11 / + 115240658.978278*\/ 11 *sin\6.63012269084499*\/ 11 /)

                                                                /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-7.576890431092457, -1.40654451525865e-7 - 83594.2742774718*cos\3.78844521554623*\/ 11 / + 22868.1584345378*\/ 11 *sin\3.78844521554623*\/ 11 /)

                                                                 /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-3.787986950472043, -0.000145401634807167 - 284.398119656837*cos\1.89399347523602*\/ 11 / + 77.8003196392349*\/ 11 *sin\1.89399347523602*\/ 11 /)

                                                                 /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-15.15469703188895, -7.15196026653836e-14 - 7222306570.41447*cos\7.57734851594448*\/ 11 / + 1975743582.23181*\/ 11 *sin\7.57734851594448*\/ 11 /)

                                                                  /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-18.943600332286884, -4.54713729059076e-17 - 2122880818901.01*cos\9.47180016614344*\/ 11 / + 580738038865.332*\/ 11 *sin\9.47180016614344*\/ 11 /)

                                                                  /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-11.365793731491019, -1.05871922766087e-10 - 24571192.0012804*cos\5.68289686574551*\/ 11 / + 6721727.25306086*\/ 11 *sin\5.68289686574551*\/ 11 /)

                                                                /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-5.682438781251884, -4.75353907943082e-6 - 4875.86514078085*cos\2.84121939062594*\/ 11 / + 1333.84801182328*\/ 11 *sin\2.84121939062594*\/ 11 /)

                                                                 /                   ____\                      ____    /                   ____\ 
(-17.049148682087917, -1.8139976145223e-15 - 123822841538.044*cos\8.52457434104396*\/ 11 / + 33873137635.0947*\/ 11 *sin\8.52457434104396*\/ 11 /)

                                                                /                   ____\                     ____    /                   ____\ 
(-9.471342081292054, -3.93101690433307e-9 - 1433182.11106663*cos\4.73567104064603*\/ 11 / + 392063.16299404*\/ 11 *sin\4.73567104064603*\/ 11 /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−7.57689043109246x_{1} = -7.57689043109246
x2=−3.78798695047204x_{2} = -3.78798695047204
x3=−15.154697031889x_{3} = -15.154697031889
x4=−18.9436003322869x_{4} = -18.9436003322869
x5=−11.365793731491x_{5} = -11.365793731491
Puntos máximos de la función:
x5=−1.89360314144266x_{5} = -1.89360314144266
x5=−13.26024538169x_{5} = -13.26024538169
x5=−5.68243878125188x_{5} = -5.68243878125188
x5=−17.0491486820879x_{5} = -17.0491486820879
x5=−9.47134208129205x_{5} = -9.47134208129205
Decrece en los intervalos
[−3.78798695047204,∞)\left[-3.78798695047204, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−18.9436003322869]\left(-\infty, -18.9436003322869\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
660xe2x−33(10911sin⁡(11x2)−328cos⁡(11x2))e−3x2+(32811sin⁡(11x2)+1199cos⁡(11x2))e−3x2+352e2x2475=0\frac{660 x e^{2 x} - 33 \left(109 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)} - 328 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{3 x}{2}} + \left(328 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)} + 1199 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{3 x}{2}} + 352 e^{2 x}}{2475} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−8.967527554905x_{1} = -8.967527554905
x2=−14.6508825055019x_{2} = -14.6508825055019
x3=−10.861979205104x_{3} = -10.861979205104
x4=−16.5453341557009x_{4} = -16.5453341557009
x5=−5.1786242529725x_{5} = -5.1786242529725
x6=−7.07307590470889x_{6} = -7.07307590470889
x7=−12.7564308553029x_{7} = -12.7564308553029
x8=−1.38955837731169x_{8} = -1.38955837731169
x9=−3.28417329306054x_{9} = -3.28417329306054

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1.38955837731169,∞)\left[-1.38955837731169, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−16.5453341557009]\left(-\infty, -16.5453341557009\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xe2x15+((−65611sin⁡(11x2)2475+(−1)218cos⁡(11x2)225)e(−1)3x2+(−1)7e2x225))=−∞(⟨−1199,1199⟩+11⟨−328,328⟩)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right)\right) = - \infty \left(\left\langle -1199, 1199\right\rangle + \sqrt{11} \left\langle -328, 328\right\rangle\right)
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−∞(⟨−1199,1199⟩+11⟨−328,328⟩)y = - \infty \left(\left\langle -1199, 1199\right\rangle + \sqrt{11} \left\langle -328, 328\right\rangle\right)
lim⁡x→∞(xe2x15+((−65611sin⁡(11x2)2475+(−1)218cos⁡(11x2)225)e(−1)3x2+(−1)7e2x225))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-7*exp(2*x))/225 + ((-218*cos((x*sqrt(11))/2))/225 - (656*sqrt(11))*sin((x*sqrt(11))/2)/2475)*exp((-3*x)/2) + (x*exp(2*x))/15, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(xe2x15+((−65611sin⁡(11x2)2475+(−1)218cos⁡(11x2)225)e(−1)3x2+(−1)7e2x225)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right)}{x}\right)
lim⁡x→∞(xe2x15+((−65611sin⁡(11x2)2475+(−1)218cos⁡(11x2)225)e(−1)3x2+(−1)7e2x225)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xe2x15+((−65611sin⁡(11x2)2475+(−1)218cos⁡(11x2)225)e(−1)3x2+(−1)7e2x225)=−xe−2x15+(65611sin⁡(11x2)2475−218cos⁡(11x2)225)e3x2−7e−2x225\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right) = - \frac{x e^{- 2 x}}{15} + \left(\frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} - \frac{218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{3 x}{2}} - \frac{7 e^{- 2 x}}{225}
- No
xe2x15+((−65611sin⁡(11x2)2475+(−1)218cos⁡(11x2)225)e(−1)3x2+(−1)7e2x225)=xe−2x15−(65611sin⁡(11x2)2475−218cos⁡(11x2)225)e3x2+7e−2x225\frac{x e^{2 x}}{15} + \left(\left(- \frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} + \frac{\left(-1\right) 218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 3 x}{2}} + \frac{\left(-1\right) 7 e^{2 x}}{225}\right) = \frac{x e^{- 2 x}}{15} - \left(\frac{656 \sqrt{11} \sin{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{2475} - \frac{218 \cos{\left(\frac{\sqrt{11} x}{2} \right)}}{225}\right) e^{\frac{3 x}{2}} + \frac{7 e^{- 2 x}}{225}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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