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Trazado el gráfico de la función/ 18*cos(x)^2/(1-sin(x)^2/25)^(3/2)+90*cos(x)-18*sin(x)^2/sqrt(1-sin(x)^2/25)

Gráfico de la función y = 18*cos(x)^2/(1-sin(x)^2/25)^(3/2)+90*cos(x)-18*sin(x)^2/sqrt(1-sin(x)^2/25)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2                               2       
          18*cos (x)                      18*sin (x)    
f(x) = ---------------- + 90*cos(x) - ------------------
                    3/2                    _____________
       /       2   \                      /        2    
       |    sin (x)|                     /      sin (x) 
       |1 - -------|                    /   1 - ------- 
       \       25  /                  \/           25
f(x)=(90cos⁡(x)+18cos⁡2(x)(−sin⁡2(x)25+1)32)−18sin⁡2(x)−sin⁡2(x)25+1f{\left(x \right)} = \left(90 \cos{\left(x \right)} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1}} 
f = 90*cos(x) + (18*cos(x)^2)/(-sin(x)^2/25 + 1)^(3/2) - 18*sin(x)^2/sqrt(-sin(x)^2/25 + 1)
Gráfico de la función
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (18*cos(x)^2)/(1 - sin(x)^2/25)^(3/2) + 90*cos(x) - 18*sin(x)^2/sqrt(1 - sin(x)^2/25).
−18sin⁡2(0)−sin⁡2(0)25+1+(18cos⁡2(0)(−sin⁡2(0)25+1)32+90cos⁡(0))- \frac{18 \sin^{2}{\left(0 \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(0 \right)}}{25} + 1}} + \left(\frac{18 \cos^{2}{\left(0 \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(0 \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + 90 \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=108f{\left(0 \right)} = 108
Punto:
(0, 108)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((90cos⁡(x)+18cos⁡2(x)(−sin⁡2(x)25+1)32)−18sin⁡2(x)−sin⁡2(x)25+1)=⟨−90−1562,125616+90⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(90 \cos{\left(x \right)} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1}}\right) = \left\langle -90 - \frac{15 \sqrt{6}}{2}, \frac{125 \sqrt{6}}{16} + 90\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−90−1562,125616+90⟩y = \left\langle -90 - \frac{15 \sqrt{6}}{2}, \frac{125 \sqrt{6}}{16} + 90\right\rangle
lim⁡x→∞((90cos⁡(x)+18cos⁡2(x)(−sin⁡2(x)25+1)32)−18sin⁡2(x)−sin⁡2(x)25+1)=⟨−90−1562,125616+90⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(90 \cos{\left(x \right)} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1}}\right) = \left\langle -90 - \frac{15 \sqrt{6}}{2}, \frac{125 \sqrt{6}}{16} + 90\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−90−1562,125616+90⟩y = \left\langle -90 - \frac{15 \sqrt{6}}{2}, \frac{125 \sqrt{6}}{16} + 90\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (18*cos(x)^2)/(1 - sin(x)^2/25)^(3/2) + 90*cos(x) - 18*sin(x)^2/sqrt(1 - sin(x)^2/25), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((90cos⁡(x)+18cos⁡2(x)(−sin⁡2(x)25+1)32)−18sin⁡2(x)−sin⁡2(x)25+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(90 \cos{\left(x \right)} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((90cos⁡(x)+18cos⁡2(x)(−sin⁡2(x)25+1)32)−18sin⁡2(x)−sin⁡2(x)25+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(90 \cos{\left(x \right)} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(90cos⁡(x)+18cos⁡2(x)(−sin⁡2(x)25+1)32)−18sin⁡2(x)−sin⁡2(x)25+1=(90cos⁡(x)+18cos⁡2(x)(−sin⁡2(x)25+1)32)−18sin⁡2(x)−sin⁡2(x)25+1\left(90 \cos{\left(x \right)} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1}} = \left(90 \cos{\left(x \right)} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1}}
- Sí
(90cos⁡(x)+18cos⁡2(x)(−sin⁡2(x)25+1)32)−18sin⁡2(x)−sin⁡2(x)25+1=(−90cos⁡(x)−18cos⁡2(x)(−sin⁡2(x)25+1)32)+18sin⁡2(x)−sin⁡2(x)25+1\left(90 \cos{\left(x \right)} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1}} = \left(- 90 \cos{\left(x \right)} - \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) + \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{25} + 1}}
- No
es decir, función
es
par
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