Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{- e^{- x} \sin{\left(x \right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} - \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 22.7656850079973$$
$$x_{2} = 57.3297241491537$$
$$x_{3} = 41.6201318876339$$
$$x_{4} = 63.6133366460702$$
$$x_{5} = -21.1938142799481$$
$$x_{6} = 113.880543222024$$
$$x_{7} = 3.8663316382073$$
$$x_{8} = 60.4715414498334$$
$$x_{9} = 25.9085825903261$$
$$x_{10} = 13.3333659917582$$
$$x_{11} = 88.7471833936367$$
$$x_{12} = -8.60948255111037$$
$$x_{13} = -5.44974485732153$$
$$x_{14} = 113.825673545378$$
$$x_{15} = 79.3220727076741$$
$$x_{16} = 7.0342764376962$$
$$x_{17} = -27.4797548438953$$
$$x_{18} = -2.23063642276895$$
$$x_{19} = -24.3369643800052$$
$$x_{20} = -14.905508326343$$
$$x_{21} = 73.0386180383092$$
$$x_{22} = 69.8968726067014$$
$$x_{23} = 19.6223744703054$$
$$x_{24} = 76.1803509093378$$
$$x_{25} = 98.172230353587$$
$$x_{26} = 44.7621413137309$$
$$x_{27} = 85.6054879487811$$
$$x_{28} = 47.9040963475716$$
$$x_{29} = -18.0501138275121$$
$$x_{30} = 10.1862256842502$$
$$x_{31} = 32.1936191763481$$
$$x_{32} = 91.8888718285112$$
$$x_{33} = 101.31390157875$$
$$x_{34} = 128.005904833072$$
$$x_{35} = 54.1878809163396$$
$$x_{36} = 29.0512001790114$$
$$x_{37} = -11.7592542155948$$
$$x_{38} = 35.3358922125353$$
$$x_{39} = 82.4637846951237$$
$$x_{40} = -30.6222973733396$$
$$x_{41} = 0.435858890573625$$
$$x_{42} = 16.4784179147545$$
$$x_{43} = 38.4780548274411$$
$$x_{44} = 66.7551128475339$$
$$x_{45} = 51.0460069857244$$
$$x_{46} = 95.0305539468591$$
Signos de extremos en los puntos:
(22.765685007997305, -1.90136048353024e-11)
(57.329724149153684, 1.17603001965326e-26)
(41.620131887633946, -9.1586411512486e-20)
(63.61333664607024, 2.08488966454994e-29)
(-21.193814279948125, 248805192.95401*I)
(113.88054322202419, 2.30470489105291e-51)
(3.8663316382073045, -0.00705826905916923)
(60.471541449833396, -4.94831444238962e-28)
(25.90858259032609, 7.70226285204766e-13)
(13.33336599175816, 3.07798628684476e-7)
(88.74718339363669, 2.14670458294408e-40)
(-8.609482551110368, 1360.3503436859*I)
(-5.449744857321526, -73.7876689255173*I)
(113.82567354537848, 2.29747616376516e-51)
(79.32207270767411, -2.81371914000362e-36)
(7.0342764376962, 0.00022672803885392)
(-27.479754843895293, 117013316129.03*I)
(-2.2306364227689457, 4.92283640466589*I)
(-24.336964380005227, -5373064829.23067*I)
(-14.905508326342956, 553954.824335417*I)
(73.03861803830924, -1.5701944454017e-33)
(69.89687260670136, 3.71429785492543e-32)
(19.622374470305402, 4.73901083394631e-10)
(76.1803509093378, 6.64404064194979e-35)
(98.17223035358695, -1.64712594809598e-44)
(44.762141313730936, 3.81639296324583e-21)
(85.6054879487811, -5.0579539023613e-39)
(47.90409634757164, -1.59421735917212e-22)
(-18.050113827512142, -11649953.6731109*I)
(10.18622568425015, -8.1470805137006e-6)
(32.19361917634808, 1.29037682423588e-15)
(91.88887182851121, -9.11679080429682e-42)
(101.31390157874985, 7.00665017748097e-46)
(128.0059048330722, 1.62033902308878e-57)
(54.18788091633964, -2.79919160633266e-25)
(29.051200179011364, -3.14332940182675e-14)
(-11.759254215594837, -26946.632137189*I)
(35.335892212535256, -5.32257091006969e-17)
(82.46378469512366, 1.19253217940794e-37)
(-30.622297373339553, -2565111834082.7*I)
(0.4358588905736254, 0.413564260102904)
(16.478417914754502, -1.19661219755555e-8)
(38.47805482744107, 2.20419461931286e-18)
(66.75511284753388, -8.79506705757247e-31)
(51.04600698572436, 6.67387418710409e-24)
(95.03055394685913, 3.87405402589361e-43)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 22.7656850079973$$
$$x_{2} = 41.6201318876339$$
$$x_{3} = 3.8663316382073$$
$$x_{4} = 60.4715414498334$$
$$x_{5} = 79.3220727076741$$
$$x_{6} = 73.0386180383092$$
$$x_{7} = 98.172230353587$$
$$x_{8} = 85.6054879487811$$
$$x_{9} = 47.9040963475716$$
$$x_{10} = 10.1862256842502$$
$$x_{11} = 91.8888718285112$$
$$x_{12} = 54.1878809163396$$
$$x_{13} = 29.0512001790114$$
$$x_{14} = 35.3358922125353$$
$$x_{15} = 16.4784179147545$$
$$x_{16} = 66.7551128475339$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{16} = 57.3297241491537$$
$$x_{16} = 63.6133366460702$$
$$x_{16} = 113.880543222024$$
$$x_{16} = 25.9085825903261$$
$$x_{16} = 13.3333659917582$$
$$x_{16} = 88.7471833936367$$
$$x_{16} = 7.0342764376962$$
$$x_{16} = 69.8968726067014$$
$$x_{16} = 19.6223744703054$$
$$x_{16} = 76.1803509093378$$
$$x_{16} = 44.7621413137309$$
$$x_{16} = 32.1936191763481$$
$$x_{16} = 101.31390157875$$
$$x_{16} = 82.4637846951237$$
$$x_{16} = 0.435858890573625$$
$$x_{16} = 38.4780548274411$$
$$x_{16} = 51.0460069857244$$
$$x_{16} = 95.0305539468591$$
Decrece en los intervalos
$$\left[98.172230353587, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3.8663316382073\right]$$