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Trazado el gráfico de la función/ cos((x+pi)/6)

Gráfico de la función y = cos((x+pi)/6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x + pi\
f(x) = cos|------|
          \  6   /
f(x)=cos⁡(x+π6)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)} 
f = cos((x + pi)/6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+π6)=0\cos{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2πx_{1} = 2 \pi
x2=8πx_{2} = 8 \pi
Solución numérica
x1=43.9822971502571x_{1} = 43.9822971502571
x2=100.530964914873x_{2} = 100.530964914873
x3=62.8318530717959x_{3} = 62.8318530717959
x4=25.1327412287183x_{4} = 25.1327412287183
x5=2042.03522483337x_{5} = 2042.03522483337
x6=−106.814150222053x_{6} = -106.814150222053
x7=−50.2654824574367x_{7} = -50.2654824574367
x8=81.6814089933346x_{8} = 81.6814089933346
x9=−201.061929829747x_{9} = -201.061929829747
x10=−12.5663706143592x_{10} = -12.5663706143592
x11=−87.9645943005142x_{11} = -87.9645943005142
x12=−25120.174858104x_{12} = -25120.174858104
x13=−69.1150383789755x_{13} = -69.1150383789755
x14=−31.4159265358979x_{14} = -31.4159265358979
x15=6.28318530717959x_{15} = 6.28318530717959
x16=6377.43308678728x_{16} = 6377.43308678728
x17=−804.247719318987x_{17} = -804.247719318987
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos((x + pi)/6).
cos⁡(π6)\cos{\left(\frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+π6)6=0- \frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)}}{6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=5πx_{2} = 5 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(-pi, 1)

(5*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5πx_{1} = 5 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=−πx_{1} = - \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,−π]∪[5π,∞)\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[5 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π,5π]\left[- \pi, 5 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x+π6)36=0- \frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)}}{36} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2πx_{1} = 2 \pi
x2=8πx_{2} = 8 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2π,8π]\left[2 \pi, 8 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,2π]∪[8π,∞)\left(-\infty, 2 \pi\right] \cup \left[8 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x+π6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x+π6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos((x + pi)/6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π6)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π6)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+π6)=sin⁡(x6+π3)\cos{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)} = \sin{\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{3} \right)}
- No
cos⁡(x+π6)=−sin⁡(x6+π3)\cos{\left(\frac{x + \pi}{6} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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