Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$2 x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)} + \left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2}\right) e^{\frac{x}{2}} + \frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6.75031964950152$$
$$x_{2} = -44.4459447592608$$
$$x_{3} = -94.7114272166946$$
$$x_{4} = -69.5786859879763$$
$$x_{5} = -60.1539080272069$$
$$x_{6} = 19.6515306586251$$
$$x_{7} = -126.127353752593$$
$$x_{8} = 30.532294975218$$
$$x_{9} = -22.4547957956318$$
$$x_{10} = 3.36410091285425$$
$$x_{11} = -41.3043521056781$$
$$x_{12} = -88.428241909515$$
$$x_{13} = 37.787486517519$$
$$x_{14} = 45.0426841976075$$
$$x_{15} = 48.6702829380241$$
$$x_{16} = 55.9254803972097$$
$$x_{17} = -57.0123153736171$$
$$x_{18} = -75.8618712951559$$
$$x_{19} = -2.01929746115462$$
$$x_{20} = -28.7379814794182$$
$$x_{21} = 34.1598878599639$$
$$x_{22} = -16.1716056030103$$
$$x_{23} = -31.8795741433815$$
$$x_{24} = -63.2955006807967$$
$$x_{25} = -72.7202786415661$$
$$x_{26} = -9.88867299001549$$
$$x_{27} = 8.7021470768735$$
$$x_{28} = -47.5875374128483$$
$$x_{29} = -19.3132018293824$$
$$x_{30} = -82.1450566023354$$
$$x_{31} = -38.1627594520961$$
$$x_{32} = -100.994612523874$$
$$x_{33} = -53.8707227200273$$
$$x_{34} = 41.4150854139869$$
$$x_{35} = -13.0300205121662$$
$$x_{36} = -79.0034639487456$$
$$x_{37} = 26.9047502857432$$
$$x_{38} = 12.4103815321228$$
$$x_{39} = 59.5530791256944$$
$$x_{40} = -91.5698345631048$$
$$x_{41} = 52.2978816684907$$
$$x_{42} = 23.2774922646617$$
$$x_{43} = -25.5963887638611$$
$$x_{44} = -35.0211667983836$$
$$x_{45} = 16.029587064753$$
$$x_{46} = -97.8530198702844$$
$$x_{47} = -3.66449103483845$$
$$x_{48} = -66.4370933343865$$
$$x_{49} = -85.2866492559252$$
$$x_{50} = -0.144117002304845$$
$$x_{51} = -50.7291300664376$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___\ / ___\
(-6.7503196495015185, 10.6141765265776 + E + 0.0342126498464451*sin\3.37515982475076*\/ 3 / - 0.0342126498464451*cos\3.37515982475076*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-44.44594475926078, 94.9120178509016 + E + 2.23195648934962e-10*sin\22.2229723796304*\/ 3 / - 2.23195648934962e-10*cos\22.2229723796304*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-94.7114272166946, 207.309053547553 + E + 2.71440654181985e-21*sin\47.3557136083473*\/ 3 / - 2.71440654181985e-21*cos\47.3557136083473*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-69.57868598797626, 151.110535699227 + E + 7.78359640253563e-16*sin\34.7893429939881*\/ 3 / - 7.78359640253563e-16*cos\34.7893429939881*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-60.153908027206874, -130.036091506105 + E + 8.66452660191904e-14*sin\30.0769540136034*\/ 3 / - 8.66452660191904e-14*cos\30.0769540136034*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(19.651530658625074, -12.4137665907701 + E - 18504.4279173728*cos\9.82576532931254*\/ 3 / - 18504.4279173728*sin\9.82576532931254*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-126.12735375259254, 277.557200857961 + E + 4.0906575509543e-28*sin\63.0636768762963*\/ 3 / - 4.0906575509543e-28*cos\63.0636768762963*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(30.53229497521799, -67.334351483547 + E - 4265830.6840948*cos\15.266147487609*\/ 3 / - 4265830.6840948*sin\15.266147487609*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-22.454795795631806, -45.7383147336131 + E + 1.33046375197753e-5*sin\11.2273978978159*\/ 3 / - 1.33046375197753e-5*cos\11.2273978978159*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(3.364100912854253, 7.863286734158 + E - 5.37656909695679*cos\1.68205045642713*\/ 3 / - 5.37656909695679*sin\1.68205045642713*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-41.30435210567815, -87.8872031198609 + E + 1.07367762072767e-9*sin\20.6521760528391*\/ 3 / - 1.07367762072767e-9*cos\20.6521760528391*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-88.42824190951502, 193.259424085472 + E + 6.28132474646582e-20*sin\44.2141209547575*\/ 3 / - 6.28132474646582e-20*cos\44.2141209547575*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(37.78748651751897, -74.5801838068146 + E - 160490170.996111*cos\18.8937432587595*\/ 3 / - 160490170.996111*sin\18.8937432587595*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(45.042684197607464, -2.68347390259365 + E - 6038020713.83333*cos\22.5213420988037*\/ 3 / - 6038020713.83333*sin\22.5213420988037*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(48.670282938024066, -50.2062135925096 + E - 37035452592.7001*cos\24.335141469012*\/ 3 / - 37035452592.7001*sin\24.335141469012*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(55.92548039720966, -128.235635892642 + E - 1393361374180.92*cos\27.9627401986048*\/ 3 / - 1393361374180.92*sin\27.9627401986048*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-57.012315373617085, 123.011276775065 + E + 4.16805092353041e-13*sin\28.5061576868085*\/ 3 / - 4.16805092353041e-13*cos\28.5061576868085*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-75.86187129515585, 165.160165161309 + E + 3.36359698737365e-17*sin\37.9309356475779*\/ 3 / - 3.36359698737365e-17*cos\37.9309356475779*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-2.0192974611546246, -2.23515793588126 + E + 0.364346941035368*sin\1.00964873057731*\/ 3 / - 0.364346941035368*cos\1.00964873057731*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-28.737981479418195, -59.787944195698 + E + 5.74945410044502e-7*sin\14.3689907397091*\/ 3 / - 5.74945410044502e-7*cos\14.3689907397091*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(34.15988785996387, 80.5323304212983 + E - 26165280.8093495*cos\17.0799439299819*\/ 3 / - 26165280.8093495*sin\17.0799439299819*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-16.171605603010285, -31.6886852710944 + E + 0.000307879279497917*sin\8.08580280150514*\/ 3 / - 0.000307879279497917*cos\8.08580280150514*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-31.879574143381472, 66.8127589267387 + E + 1.1951940764495e-7*sin\15.9397870716907*\/ 3 / - 1.1951940764495e-7*cos\15.9397870716907*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-63.29550068079667, 137.060906237146 + E + 1.80117811928683e-14*sin\31.6477503403983*\/ 3 / - 1.80117811928683e-14*cos\31.6477503403983*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-72.72027864156605, -158.135350430268 + E + 1.61805072264442e-16*sin\36.360139320783*\/ 3 / - 1.61805072264442e-16*cos\36.360139320783*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-9.888672990015488, -17.6390552695393 + E + 0.00712363966684183*sin\4.94433649500774*\/ 3 / - 0.00712363966684183*cos\4.94433649500774*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(8.702147076873501, 23.7053113686177 + E - 77.5616836955868*cos\4.35107353843675*\/ 3 / - 77.5616836955868*sin\4.35107353843675*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-47.58753741284834, -101.936832581942 + E + 4.63978169439851e-11*sin\23.7937687064242*\/ 3 / - 4.63978169439851e-11*cos\23.7937687064242*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-19.313201829382358, 38.7135000025198 + E + 6.4001699857033e-5*sin\9.65660091469118*\/ 3 / - 6.4001699857033e-5*cos\9.65660091469118*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-82.14505660233543, 179.20979462339 + E + 1.45354205284636e-18*sin\41.0725283011677*\/ 3 / - 1.45354205284636e-18*cos\41.0725283011677*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-38.16275945209615, 80.8623883888202 + E + 5.16490190893905e-9*sin\19.0813797260481*\/ 3 / - 5.16490190893905e-9*cos\19.0813797260481*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-100.9946125238742, 221.358683009635 + E + 1.17300142432851e-22*sin\50.4973062619371*\/ 3 / - 1.17300142432851e-22*cos\50.4973062619371*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-53.87072272002731, -115.986462044024 + E + 2.00503146903546e-12*sin\26.9353613600137*\/ 3 / - 2.00503146903546e-12*cos\26.9353613600137*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(41.41508541398692, 47.3821977943733 + E - 984399833.156309*cos\20.7075427069935*\/ 3 / - 984399833.156309*sin\20.7075427069935*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-13.030020512166207, 24.6638705404298 + E + 0.00148104070971491*sin\6.5150102560831*\/ 3 / - 0.00148104070971491*cos\6.5150102560831*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-79.00346394874563, -172.18497989235 + E + 6.99223116749938e-18*sin\39.5017319743728*\/ 3 / - 6.99223116749938e-18*cos\39.5017319743728*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(26.904750285743184, 41.635063066614 + E - 695492.246975017*cos\13.4523751428716*\/ 3 / - 695492.246975017*sin\13.4523751428716*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(12.4103815321228, -30.0324448952087 + E - 495.313435921442*cos\6.2051907660614*\/ 3 / - 495.313435921442*sin\6.2051907660614*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(59.55307912569437, 129.649993663679 + E - 8546470980446.55*cos\29.7765395628472*\/ 3 / - 8546470980446.55*sin\29.7765395628472*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-91.5698345631048, -200.284238816513 + E + 1.30575912721688e-20*sin\45.7849172815524*\/ 3 / - 1.30575912721688e-20*cos\45.7849172815524*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(52.29788166849073, 98.3271416819005 + E - 227164630088.119*cos\26.1489408342454*\/ 3 / - 227164630088.119*sin\26.1489408342454*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(23.27749226466169, -12.2746365872167 + E - 113407.877270626*cos\11.6387461323308*\/ 3 / - 113407.877270626*sin\11.6387461323308*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-25.59638876386111, 52.7631294646571 + E + 2.76576197600231e-6*sin\12.7981943819306*\/ 3 / - 2.76576197600231e-6*cos\12.7981943819306*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-35.02116679838362, -73.8375736577795 + E + 2.48456438093808e-8*sin\17.5105833991918*\/ 3 / - 2.48456438093808e-8*cos\17.5105833991918*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(16.02958706475301, 26.9299550876137 + E - 3025.38468924087*cos\8.0147935323765*\/ 3 / - 3025.38468924087*sin\8.0147935323765*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-97.8530198702844, -214.333868278594 + E + 5.64269681957246e-22*sin\48.9265099351422*\/ 3 / - 5.64269681957246e-22*cos\48.9265099351422*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-3.6644910348384534, -3.58297258712364 + E + 0.160053760442459*sin\1.83224551741923*\/ 3 / - 0.160053760442459*cos\1.83224551741923*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-66.43709333438646, -144.085720968187 + E + 3.7442814436961e-15*sin\33.2185466671932*\/ 3 / - 3.7442814436961e-15*cos\33.2185466671932*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-85.28664925592523, -186.234609354431 + E + 3.02161706153718e-19*sin\42.6433246279626*\/ 3 / - 3.02161706153718e-19*cos\42.6433246279626*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-0.14411700230484492, -3.23743008642798 + E + 0.930476460273722*sin\0.0720585011524225*\/ 3 / - 0.930476460273722*cos\0.0720585011524225*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-50.72913006643762, 108.961647312983 + E + 9.64515852991831e-12*sin\25.3645650332188*\/ 3 / - 9.64515852991831e-12*cos\25.3645650332188*\/ 3 /)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -60.1539080272069$$
$$x_{2} = 30.532294975218$$
$$x_{3} = -22.4547957956318$$
$$x_{4} = -41.3043521056781$$
$$x_{5} = 37.787486517519$$
$$x_{6} = 45.0426841976075$$
$$x_{7} = -28.7379814794182$$
$$x_{8} = -16.1716056030103$$
$$x_{9} = -72.7202786415661$$
$$x_{10} = -9.88867299001549$$
$$x_{11} = 8.7021470768735$$
$$x_{12} = -47.5875374128483$$
$$x_{13} = -53.8707227200273$$
$$x_{14} = -79.0034639487456$$
$$x_{15} = 59.5530791256944$$
$$x_{16} = -91.5698345631048$$
$$x_{17} = 52.2978816684907$$
$$x_{18} = 23.2774922646617$$
$$x_{19} = -35.0211667983836$$
$$x_{20} = 16.029587064753$$
$$x_{21} = -97.8530198702844$$
$$x_{22} = -3.66449103483845$$
$$x_{23} = -66.4370933343865$$
$$x_{24} = -85.2866492559252$$
$$x_{25} = -0.144117002304845$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{25} = -6.75031964950152$$
$$x_{25} = -44.4459447592608$$
$$x_{25} = -94.7114272166946$$
$$x_{25} = -69.5786859879763$$
$$x_{25} = 19.6515306586251$$
$$x_{25} = -126.127353752593$$
$$x_{25} = 3.36410091285425$$
$$x_{25} = -88.428241909515$$
$$x_{25} = 48.6702829380241$$
$$x_{25} = 55.9254803972097$$
$$x_{25} = -57.0123153736171$$
$$x_{25} = -75.8618712951559$$
$$x_{25} = -2.01929746115462$$
$$x_{25} = 34.1598878599639$$
$$x_{25} = -31.8795741433815$$
$$x_{25} = -63.2955006807967$$
$$x_{25} = -19.3132018293824$$
$$x_{25} = -82.1450566023354$$
$$x_{25} = -38.1627594520961$$
$$x_{25} = -100.994612523874$$
$$x_{25} = 41.4150854139869$$
$$x_{25} = -13.0300205121662$$
$$x_{25} = 26.9047502857432$$
$$x_{25} = 12.4103815321228$$
$$x_{25} = -25.5963887638611$$
$$x_{25} = -50.7291300664376$$
Decrece en los intervalos
$$\left[59.5530791256944, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -97.8530198702844\right]$$