Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(- \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2}\right) e^{\frac{x}{2}} + \frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} - e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 26.9046905694742$$
$$x_{2} = 55.9254803972217$$
$$x_{3} = 45.0426842118164$$
$$x_{4} = 23.2770918410058$$
$$x_{5} = 48.6702829402848$$
$$x_{6} = 19.6494931125375$$
$$x_{7} = 30.5322892979427$$
$$x_{8} = 66.808276582627$$
$$x_{9} = 52.2978816687533$$
$$x_{10} = -0.22973165531983$$
$$x_{11} = 34.1598880264111$$
$$x_{12} = 8.7666953387197$$
$$x_{13} = 37.7874867548795$$
$$x_{14} = 12.3942956624837$$
$$x_{15} = 1.41338338932888$$
$$x_{16} = 59.5530791256902$$
$$x_{17} = 5.13946454574802$$
$$x_{18} = 16.0218943840391$$
$$x_{19} = 41.415085483348$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___\ / ___\
(26.90469056947423, 2.06748014907387e-12 + 695471.481183994*cos\13.4523452847371*\/ 3 / + 695471.481183994*sin\13.4523452847371*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(55.92548039722172, 5.15077365481699e-25 + 1393361374189.32*cos\27.9627401986109*\/ 3 / + 1393361374189.32*sin\27.9627401986109*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(45.04268421181641, 2.74290519288556e-20 + 6038020756.73028*cos\22.5213421059082*\/ 3 / + 6038020756.73028*sin\22.5213421059082*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(23.277091841005795, 7.77834959936241e-11 + 113385.173945027*cos\11.6385459205029*\/ 3 / + 113385.173945027*sin\11.6385459205029*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(48.67028294028484, 7.29062375590238e-22 + 37035452634.5646*cos\24.3351414701424*\/ 3 / + 37035452634.5646*sin\24.3351414701424*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(19.64949311253749, 2.92639919744796e-9 + 18485.5857046187*cos\9.82474655626874*\/ 3 / + 18485.5857046187*sin\9.82474655626874*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(30.53228929794267, 5.49534848262013e-14 + 4265818.57496435*cos\15.2661446489713*\/ 3 / + 4265818.57496435*sin\15.2661446489713*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(66.80827658262703, 9.67239746819194e-30 + 321538463894600*cos\33.4041382913135*\/ 3 / + 321538463894600*sin\33.4041382913135*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(52.297881668753284, 1.93784294433488e-23 + 227164630117.94*cos\26.1489408343766*\/ 3 / + 227164630117.94*sin\26.1489408343766*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(-0.22973165531983014, 1.25826231662348 + 0.891485748611874*cos\0.114865827659915*\/ 3 / - 0.891485748611874*sin\0.114865827659915*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(34.1598880264111, 1.46065997097786e-15 + 26165282.9869189*cos\17.0799440132056*\/ 3 / + 26165282.9869189*sin\17.0799440132056*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(8.766695338719702, 0.000155837721534615 + 80.1057526109318*cos\4.38334766935985*\/ 3 / + 80.1057526109318*sin\4.38334766935985*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(37.78748675487954, 3.88242448602603e-17 + 160490190.043131*cos\18.8937433774398*\/ 3 / + 160490190.043131*sin\18.8937433774398*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(12.394295662483731, 4.14214966354846e-6 + 491.34563999241*cos\6.19714783124187*\/ 3 / + 491.34563999241*sin\6.19714783124187*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(1.4133833893288765, 0.243318647193409 + 2.02727331314801*cos\0.706691694664438*\/ 3 / + 2.02727331314801*sin\0.706691694664438*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(59.553079125690154, 1.3690722109713e-26 + 8546470980428.54*cos\29.7765395628451*\/ 3 / + 8546470980428.54*sin\29.7765395628451*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(5.139464545748017, 0.00586082707808211 + 13.0623268335314*cos\2.56973227287401*\/ 3 / + 13.0623268335314*sin\2.56973227287401*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(16.021894384039097, 1.10098063267607e-7 + 3013.77038062612*cos\8.01094719201955*\/ 3 / + 3013.77038062612*sin\8.01094719201955*\/ 3 /)
/ ___\ / ___\
(41.41508548334797, 1.03194584565794e-18 + 984399867.295812*cos\20.707542741674*\/ 3 / + 984399867.295812*sin\20.707542741674*\/ 3 /)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 26.9046905694742$$
$$x_{2} = 55.9254803972217$$
$$x_{3} = 48.6702829402848$$
$$x_{4} = 19.6494931125375$$
$$x_{5} = -0.22973165531983$$
$$x_{6} = 34.1598880264111$$
$$x_{7} = 12.3942956624837$$
$$x_{8} = 5.13946454574802$$
$$x_{9} = 41.415085483348$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{9} = 45.0426842118164$$
$$x_{9} = 23.2770918410058$$
$$x_{9} = 30.5322892979427$$
$$x_{9} = 66.808276582627$$
$$x_{9} = 52.2978816687533$$
$$x_{9} = 8.7666953387197$$
$$x_{9} = 37.7874867548795$$
$$x_{9} = 1.41338338932888$$
$$x_{9} = 59.5530791256902$$
$$x_{9} = 16.0218943840391$$
Decrece en los intervalos
$$\left[55.9254803972217, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.22973165531983\right]$$