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Resolver desigualdades/ sin((2x-pi)/3)>-1/2

sin((2x-pi)/3)>-1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   /2*x - pi\       
sin|--------| > -1/2
   \   3    /
sin⁡(2x−π3)>−12\sin{\left(\frac{2 x - \pi}{3} \right)} > - \frac{1}{2} 
sin((2*x - pi)/3) > -1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(2x−π3)>−12\sin{\left(\frac{2 x - \pi}{3} \right)} > - \frac{1}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(2x−π3)=−12\sin{\left(\frac{2 x - \pi}{3} \right)} = - \frac{1}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(2x−π3)=−12\sin{\left(\frac{2 x - \pi}{3} \right)} = - \frac{1}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
cos⁡(2x3+π6)=12\cos{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{1}{2}
Esta ecuación se reorganiza en
2x3+π6=πn+acos⁡(12)\frac{2 x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}
2x3+π6=πn−π+acos⁡(12)\frac{2 x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}
O
2x3+π6=πn+π3\frac{2 x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pi n + \frac{\pi}{3}
2x3+π6=πn−2π3\frac{2 x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
π6\frac{\pi}{6}
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
2x3=πn+π6\frac{2 x}{3} = \pi n + \frac{\pi}{6}
2x3=πn−5π6\frac{2 x}{3} = \pi n - \frac{5 \pi}{6}
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
23\frac{2}{3}
x1=3πn2+π4x_{1} = \frac{3 \pi n}{2} + \frac{\pi}{4}
x2=3πn2−5π4x_{2} = \frac{3 \pi n}{2} - \frac{5 \pi}{4}
x1=3πn2+π4x_{1} = \frac{3 \pi n}{2} + \frac{\pi}{4}
x2=3πn2−5π4x_{2} = \frac{3 \pi n}{2} - \frac{5 \pi}{4}
Las raíces dadas
x1=3πn2+π4x_{1} = \frac{3 \pi n}{2} + \frac{\pi}{4}
x2=3πn2−5π4x_{2} = \frac{3 \pi n}{2} - \frac{5 \pi}{4}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(3πn2+π4)+−110\left(\frac{3 \pi n}{2} + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}
=
3πn2−110+π4\frac{3 \pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(2x−π3)>−12\sin{\left(\frac{2 x - \pi}{3} \right)} > - \frac{1}{2}
sin⁡(2(3πn2−110+π4)−π3)>−12\sin{\left(\frac{2 \left(\frac{3 \pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}\right) - \pi}{3} \right)} > - \frac{1}{2}
    /1    pi       \       
-sin|-- + -- - pi*n| > -1/2
    \15   6        /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<3πn2+π4x < \frac{3 \pi n}{2} + \frac{\pi}{4}
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<3πn2+π4x < \frac{3 \pi n}{2} + \frac{\pi}{4}
x>3πn2−5π4x > \frac{3 \pi n}{2} - \frac{5 \pi}{4}
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-30-25-20-15-10-510152025302-2
Respuesta rápida 2 [src] 
 pi  9*pi 
(--, ----)
 4    4
x in (π4,9π4)x\ in\ \left(\frac{\pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right) 
x in Interval.open(pi/4, 9*pi/4)
Respuesta rápida [src] 
   /pi          9*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \4            4  /
π4<x∧x<9π4\frac{\pi}{4} < x \wedge x < \frac{9 \pi}{4} 
(pi/4 < x)∧(x < 9*pi/4)
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