|sin(x)|<=2/sqrt2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{\sin{\left(x \right)}}\right| \leq \frac{2}{\sqrt{2}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{\sin{\left(x \right)}}\right| = \frac{2}{\sqrt{2}}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left|{\sin{\left(x \right)}}\right| = \frac{2}{\sqrt{2}}$$
cambiamos
$$\left|{\sin{\left(x \right)}}\right| - \sqrt{2} - 1 = 0$$
$$\left|{\sin{\left(x \right)}}\right| - 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \left|{\sin{\left(x \right)}}\right|$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-1 + w - sqrt2 = 0

Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w - \sqrt{2} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (w - sqrt(2))/w

w = 1 / ((w - sqrt(2))/w)

Obtenemos la respuesta: w = 1 + sqrt(2)
hacemos cambio inverso
$$\left|{\sin{\left(x \right)}}\right| = w$$
sustituimos w:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$\left|{\sin{\left(0 \right)}}\right| \leq \frac{2}{\sqrt{2}}$$

       ___
0 <= \/ 2 
     

signo desigualdades se cumple cuando