Sr Examen

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sin(x/2)>1/2 desigualdades

Ha introducido [src]

   /x\      
sin|-| > 1/2
   \2/

\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{1}{2}

sin(x/2) > 1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}

\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi

\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}

\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}

, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en

\frac{1}{2}

x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{3}

x_{2} = 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}

x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{3}

x_{2} = 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}

Las raíces dadas

x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{3}

x_{2} = 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

\left(4 \pi n + \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}

4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}

lo sustituimos en la expresión

\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{1}{2}

\sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}}{2} \right)} > \frac{1}{2}

   /  1    pi         \      
sin|- -- + -- + 2*pi*n| > 1/2
   \  20   6          /

Entonces

x < 4 \pi n + \frac{\pi}{3}

no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x > 4 \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x < 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

 pi  5*pi 
(--, ----)
 3    3

x\ in\ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right)

x in Interval.open(pi/3, 5*pi/3)

Respuesta rápida [src]

   /pi          5*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \3            3  /

\frac{\pi}{3} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{3}

(pi/3 < x)∧(x < 5*pi/3)

Gráfico