sin(3*x)

+ desigualdades

¡Resolver la desigualdad!

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]

             ___
           \/ 2 
sin(3*x) < -----
             2  

$$\sin{\left(3 x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

sin(3*x) < sqrt(2)/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(3 x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(3 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(3 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$3 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$3 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$3 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$3 x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$3$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{12}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(3 x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(3 \left(\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}\right) \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                            ___
   /  3    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  10   4          /     2  
                          

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{12}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{12}$$
$$x > \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{4}$$

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

    pi     pi  2*pi 
[0, --) U (--, ----]
    12     4    3   

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{12}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right]$$

x in Union(Interval.Ropen(0, pi/12), Interval.Lopen(pi/4, 2*pi/3))

Respuesta rápida [src]

  /   /            pi\     /     2*pi  pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= ----, -- < x||
  \   \            12/     \      3    4     //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{12}\right) \vee \left(x \leq \frac{2 \pi}{3} \wedge \frac{\pi}{4} < x\right)$$

((0 <= x)∧(x < pi/12))∨((x <= 2*pi/3)∧(pi/4 < x))

Gráfico