Sr Examen

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sin(x/2)<sqrt(2)/2

sin(x/2)
En la desigualdad la incógnita

Solución

           ___
   /x\   \/ 2 
sin|-| < -----
   \2/     2  
sin(x2)<22\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}
sin(x/2) < sqrt(2)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin(x2)<22\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin(x2)=22\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin(x2)=22\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x2=2πn+asin(22)\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x2=2πnasin(22)+π\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
O
x2=2πn+π4\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}
x2=2πn+3π4\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
12\frac{1}{2}
x1=4πn+π2x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=4πn+3π2x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
x1=4πn+π2x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=4πn+3π2x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
Las raíces dadas
x1=4πn+π2x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=4πn+3π2x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(4πn+π2)+110\left(4 \pi n + \frac{\pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}
=
4πn110+π24 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}
lo sustituimos en la expresión
sin(x2)<22\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}
sin(4πn110+π22)<22\sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}}{2} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}
                            ___
   /  1    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  20   4          /     2  
                          

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<4πn+π2x < 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<4πn+π2x < 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
x>4πn+3π2x > 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-25-20-15-10-51015202530352-2
Respuesta rápida [src]
  /   /            pi\     /           3*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= 4*pi, ---- < x||
  \   \            2 /     \            2      //
(0xx<π2)(x4π3π2<x)\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(x \leq 4 \pi \wedge \frac{3 \pi}{2} < x\right)
((0 <= x)∧(x < pi/2))∨((x <= 4*pi)∧(3*pi/2 < x))
Respuesta rápida 2 [src]
    pi     3*pi       
[0, --) U (----, 4*pi]
    2       2         
x in [0,π2)(3π2,4π]x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{2}, 4 \pi\right]
x in Union(Interval.Ropen(0, pi/2), Interval.Lopen(3*pi/2, 4*pi))
Gráfico
sin(x/2)<sqrt(2)/2 desigualdades