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Resolver desigualdades/ sqrt(3)sin(x)-cos(x)<=0

sqrt(3)sin(x)-cos(x)<=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
  ___                     
\/ 3 *sin(x) - cos(x) <= 0
3sin⁡(x)−cos⁡(x)≤0\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \leq 0 
sqrt(3)*sin(x) - cos(x) <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
3sin⁡(x)−cos⁡(x)≤0\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
3sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
3sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
cambiamos:
3sin⁡(x)cos⁡(x)=1\frac{\sqrt{3} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 1
o
3tan⁡(x)=1\sqrt{3} \tan{\left(x \right)} = 1
es la ecuación trigonométrica más simple
Dividamos ambos miembros de la ecuación en sqrt(3)

La ecuación se convierte en
tan⁡(x)=−33\tan{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
Esta ecuación se reorganiza en
x=πn+atan⁡(−33)x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}
O
x=πn−π6x = \pi n - \frac{\pi}{6}
, donde n es cualquier número entero
x1=πn−π6x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{6}
x1=πn−π6x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{6}
Las raíces dadas
x1=πn−π6x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{6}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn−π6)+−110\left(\pi n - \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn−π6−110\pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
3sin⁡(x)−cos⁡(x)≤0\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \leq 0
3sin⁡(πn−π6−110)−cos⁡(πn−π6−110)≤0\sqrt{3} \sin{\left(\pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} - \cos{\left(\pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} \leq 0
     /1    pi       \     ___    /1    pi       \     
- cos|-- + -- - pi*n| - \/ 3 *sin|-- + -- - pi*n| <= 0
     \10   6        /            \10   6        /

pero
     /1    pi       \     ___    /1    pi       \     
- cos|-- + -- - pi*n| - \/ 3 *sin|-- + -- - pi*n| >= 0
     \10   6        /            \10   6        /

Entonces
x≤πn−π6x \leq \pi n - \frac{\pi}{6}
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
x≥πn−π6x \geq \pi n - \frac{\pi}{6}
         _____  
        /
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-101020304050605-5
Respuesta rápida 2 [src] 
    pi     7*pi       
[0, --] U [----, 2*pi]
    6       6
x in [0,π6]∪[7π6,2π]x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{6}, 2 \pi\right] 
x in Union(Interval(0, pi/6), Interval(7*pi/6, 2*pi))
Respuesta rápida [src] 
  /   /             pi\     /7*pi                \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= 2*pi||
  \   \             6 /     \ 6                  //
(0≤x∧x≤π6)∨(7π6≤x∧x≤2π)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{6} \leq x \wedge x \leq 2 \pi\right) 
((0 <= x)∧(x <= pi/6))∨((7*pi/6 <= x)∧(x <= 2*pi))
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