(x^2-4x+3)*(log((cospi*x)^2+cosx+2(sinx/2)^2))/log(1/sqrt(2))>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) \log{\left(2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} + \left(\left(x \cos{\left(\pi \right)}\right)^{2} + \cos{\left(x \right)}\right) \right)}}{\log{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) \log{\left(2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} + \left(\left(x \cos{\left(\pi \right)}\right)^{2} + \cos{\left(x \right)}\right) \right)}}{\log{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) \log{\left(2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} + \left(\left(x \cos{\left(\pi \right)}\right)^{2} + \cos{\left(x \right)}\right) \right)}}{\log{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}} = 2$$
cambiamos
$$- \frac{2 \left(x^{2} - 4 x + 3\right) \log{\left(x^{2} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 0$$
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) \log{\left(2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} + \left(\left(x \cos{\left(\pi \right)}\right)^{2} + \cos{\left(x \right)}\right) \right)}}{\log{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}} - 2 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) \log{\left(w + \left(x \cos{\left(\pi \right)}\right)^{2} + 2 \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}} - 2 = 0$$
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \log{\left(w + x^{2} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} \right)}}{\log{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}} = 2$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =(3 + x^2 - 4*x)/log(sqrt(2)/2)
$$\log{\left(w + x^{2} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} \right)} = \frac{2 \log{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{x^{2} - 4 x + 3}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$w + \left(x^{2} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}\right) = e^{\frac{2}{\left(x^{2} - 4 x + 3\right) \frac{1}{\log{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}}}$$
simplificamos
$$w + x^{2} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} = e^{\frac{2 \log{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{x^{2} - 4 x + 3}}$$
$$w = - x^{2} + e^{\frac{2 \log{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{x^{2} - 4 x + 3}} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2.80175349985904$$
$$x_{2} = 1.44771569361866$$
$$x_{1} = 2.80175349985904$$
$$x_{2} = 1.44771569361866$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1.44771569361866$$
$$x_{1} = 2.80175349985904$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1.44771569361866$$
=
$$1.34771569361866$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) \log{\left(2 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} + \left(\left(x \cos{\left(\pi \right)}\right)^{2} + \cos{\left(x \right)}\right) \right)}}{\log{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}} \geq 2$$
$$\frac{\left(\left(- 1.34771569361866 \cdot 4 + 1.34771569361866^{2}\right) + 3\right) \log{\left(2 \left(\frac{\sin{\left(1.34771569361866 \right)}}{2}\right)^{2} + \left(\cos{\left(1.34771569361866 \right)} + \left(1.34771569361866 \cos{\left(\pi \right)}\right)^{2}\right) \right)}}{\log{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}} \geq 2$$

-0.529434775926263     
------------------     
       /  ___\         
       |\/ 2 |     >= 2
    log|-----|         
       \  2  /         
     

pero

-0.529434775926263    
------------------    
       /  ___\        
       |\/ 2 |     < 2
    log|-----|        
       \  2  /        
    

Entonces
$$x \leq 1.44771569361866$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 1.44771569361866 \wedge x \leq 2.80175349985904$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1