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Resolución de integrales/ sin^4/ cos^7(y)sin^4(y)dy

Integral de cos^7(y)sin^4(y)dy dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                   
 --                   
 2                    
  /                   
 |                    
 |     7       4      
 |  cos (y)*sin (y) dy
 |                    
/                     
0
∫0π2sin⁡4(y)cos⁡7(y) dy\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{4}{\left(y \right)} \cos^{7}{\left(y \right)}\, dy 
Integral(cos(y)^7*sin(y)^4, (y, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡4(y)cos⁡7(y)=(1−sin⁡2(y))3sin⁡4(y)cos⁡(y)\sin^{4}{\left(y \right)} \cos^{7}{\left(y \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(y \right)}\right)^{3} \sin^{4}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

      Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

      ∫(−u10+3u8−3u6+u4) du\int \left(- u^{10} + 3 u^{8} - 3 u^{6} + u^{4}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u10) du=−∫u10 du\int \left(- u^{10}\right)\, du = - \int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Por lo tanto, el resultado es: −u1111- \frac{u^{11}}{11}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u8 du=3∫u8 du\int 3 u^{8}\, du = 3 \int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: u93\frac{u^{9}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3u6) du=−3∫u6 du\int \left(- 3 u^{6}\right)\, du = - 3 \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −3u77- \frac{3 u^{7}}{7}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        El resultado es: −u1111+u93−3u77+u55- \frac{u^{11}}{11} + \frac{u^{9}}{3} - \frac{3 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −sin⁡11(y)11+sin⁡9(y)3−3sin⁡7(y)7+sin⁡5(y)5- \frac{\sin^{11}{\left(y \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(y \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(y \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(y \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(y))3sin⁡4(y)cos⁡(y)=−sin⁡10(y)cos⁡(y)+3sin⁡8(y)cos⁡(y)−3sin⁡6(y)cos⁡(y)+sin⁡4(y)cos⁡(y)\left(1 - \sin^{2}{\left(y \right)}\right)^{3} \sin^{4}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} = - \sin^{10}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} + 3 \sin^{8}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} - 3 \sin^{6}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} + \sin^{4}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡10(y)cos⁡(y)) dy=−∫sin⁡10(y)cos⁡(y) dy\int \left(- \sin^{10}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - \int \sin^{10}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy

        1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

          Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

          ∫u10 du\int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡11(y)11\frac{\sin^{11}{\left(y \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡11(y)11- \frac{\sin^{11}{\left(y \right)}}{11}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡8(y)cos⁡(y) dy=3∫sin⁡8(y)cos⁡(y) dy\int 3 \sin^{8}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy = 3 \int \sin^{8}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy

        1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

          Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

          ∫u8 du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡9(y)9\frac{\sin^{9}{\left(y \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡9(y)3\frac{\sin^{9}{\left(y \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡6(y)cos⁡(y)) dy=−3∫sin⁡6(y)cos⁡(y) dy\int \left(- 3 \sin^{6}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - 3 \int \sin^{6}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy

        1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

          Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(y)7\frac{\sin^{7}{\left(y \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡7(y)7- \frac{3 \sin^{7}{\left(y \right)}}{7}

      1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

        Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡5(y)5\frac{\sin^{5}{\left(y \right)}}{5}

      El resultado es: −sin⁡11(y)11+sin⁡9(y)3−3sin⁡7(y)7+sin⁡5(y)5- \frac{\sin^{11}{\left(y \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(y \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(y \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(y \right)}}{5}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(y))3sin⁡4(y)cos⁡(y)=−sin⁡10(y)cos⁡(y)+3sin⁡8(y)cos⁡(y)−3sin⁡6(y)cos⁡(y)+sin⁡4(y)cos⁡(y)\left(1 - \sin^{2}{\left(y \right)}\right)^{3} \sin^{4}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} = - \sin^{10}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} + 3 \sin^{8}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} - 3 \sin^{6}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} + \sin^{4}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡10(y)cos⁡(y)) dy=−∫sin⁡10(y)cos⁡(y) dy\int \left(- \sin^{10}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - \int \sin^{10}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy

        1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

          Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

          ∫u10 du\int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡11(y)11\frac{\sin^{11}{\left(y \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡11(y)11- \frac{\sin^{11}{\left(y \right)}}{11}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡8(y)cos⁡(y) dy=3∫sin⁡8(y)cos⁡(y) dy\int 3 \sin^{8}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy = 3 \int \sin^{8}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy

        1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

          Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

          ∫u8 du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡9(y)9\frac{\sin^{9}{\left(y \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡9(y)3\frac{\sin^{9}{\left(y \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡6(y)cos⁡(y)) dy=−3∫sin⁡6(y)cos⁡(y) dy\int \left(- 3 \sin^{6}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - 3 \int \sin^{6}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy

        1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

          Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(y)7\frac{\sin^{7}{\left(y \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡7(y)7- \frac{3 \sin^{7}{\left(y \right)}}{7}

      1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

        Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡5(y)5\frac{\sin^{5}{\left(y \right)}}{5}

      El resultado es: −sin⁡11(y)11+sin⁡9(y)3−3sin⁡7(y)7+sin⁡5(y)5- \frac{\sin^{11}{\left(y \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(y \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(y \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(y \right)}}{5}

  3. Ahora simplificar:

    (−105sin⁡6(y)+385sin⁡4(y)−495sin⁡2(y)+231)sin⁡5(y)1155\frac{\left(- 105 \sin^{6}{\left(y \right)} + 385 \sin^{4}{\left(y \right)} - 495 \sin^{2}{\left(y \right)} + 231\right) \sin^{5}{\left(y \right)}}{1155}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (−105sin⁡6(y)+385sin⁡4(y)−495sin⁡2(y)+231)sin⁡5(y)1155+constant\frac{\left(- 105 \sin^{6}{\left(y \right)} + 385 \sin^{4}{\left(y \right)} - 495 \sin^{2}{\left(y \right)} + 231\right) \sin^{5}{\left(y \right)}}{1155}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−105sin⁡6(y)+385sin⁡4(y)−495sin⁡2(y)+231)sin⁡5(y)1155+constant\frac{\left(- 105 \sin^{6}{\left(y \right)} + 385 \sin^{4}{\left(y \right)} - 495 \sin^{2}{\left(y \right)} + 231\right) \sin^{5}{\left(y \right)}}{1155}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                 
 |                               7         11         9         5   
 |    7       4             3*sin (y)   sin  (y)   sin (y)   sin (y)
 | cos (y)*sin (y) dy = C - --------- - -------- + ------- + -------
 |                              7          11         3         5   
/
∫sin⁡4(y)cos⁡7(y) dy=C−sin⁡11(y)11+sin⁡9(y)3−3sin⁡7(y)7+sin⁡5(y)5\int \sin^{4}{\left(y \right)} \cos^{7}{\left(y \right)}\, dy = C - \frac{\sin^{11}{\left(y \right)}}{11} + \frac{\sin^{9}{\left(y \right)}}{3} - \frac{3 \sin^{7}{\left(y \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(y \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.50.0000.050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
 16 
----
1155
161155\frac{16}{1155} 
=
= 
 16 
----
1155
161155\frac{16}{1155} 
16/1155
Respuesta numérica [src] 
0.0138528138528139
0.0138528138528139

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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