Integral de x^2*x^3*sqrt(1+16*x^6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{2} \sqrt{16 u^{3} + 1}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2} \sqrt{16 u^{3} + 1}\, du = \frac{\int u^{2} \sqrt{16 u^{3} + 1}\, du}{2}$

         1. que $u = 16 u^{3} + 1$.

            Luego que $du = 48 u^{2} du$ y ponemos $\frac{du}{48}$:

            $\int \frac{\sqrt{u}}{48}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{48}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{72}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(16 u^{3} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{72}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(16 u^{3} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{144}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(16 x^{6} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{144}$

   Método #2

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u \sqrt{16 u^{2} + 1}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u \sqrt{16 u^{2} + 1}\, du = \frac{\int u \sqrt{16 u^{2} + 1}\, du}{3}$

         1. que $u = 16 u^{2} + 1$.

            Luego que $du = 32 u du$ y ponemos $\frac{du}{32}$:

            $\int \frac{\sqrt{u}}{32}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{32}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{48}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(16 u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{48}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(16 u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{144}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(16 x^{6} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{144}$

   Método #3

   1. que $u = 16 x^{6} + 1$.

      Luego que $du = 96 x^{5} dx$ y ponemos $\frac{du}{96}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{96}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{96}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{144}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(16 x^{6} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{144}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(16 x^{6} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{144}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(16 x^{6} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{144}+ \mathrm{constant}$