Integral de xarctg(ax) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1               
  /               
 |                
 |  x*atan(a*x) dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left(a x \right)}\, dx$$

Integral(x*atan(a*x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(a x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{a}{a^{2} x^{2} + 1}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
  
  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \frac{a x^{2}}{2 \left(a^{2} x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{a \int \frac{x^{2}}{a^{2} x^{2} + 1}\, dx}{2}$
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{2}}{a^{2} x^{2} + 1} = \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a^{2} \left(a^{2} x^{2} + 1\right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{a^{2}}\, dx = \frac{x}{a^{2}}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{1}{a^{2} \left(a^{2} x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{a^{2} x^{2} + 1}\, dx}{a^{2}}$
    1. Integral $\frac{1}{x^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}} \right)}}{a^{2} \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}} \right)}}{a^{4} \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}}$
  El resultado es: $\frac{x}{a^{2}} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}} \right)}}{a^{4} \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}}$
Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \left(\frac{x}{a^{2}} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}} \right)}}{a^{4} \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}}\right)}{2}$
Ahora simplificar:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(a x \right)}}{2} - \frac{x}{2 a} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}} \right)}}{2 a^{3} \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(a x \right)}}{2} - \frac{x}{2 a} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}} \right)}}{2 a^{3} \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(a x \right)}}{2} - \frac{x}{2 a} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}} \right)}}{2 a^{3} \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                         /         /    x    \\
                                         |     atan|---------||
                                         |         |     ____||
                                         |         |    / 1  ||
                                         |         |   /  -- ||
                                         |         |  /    2 ||
                                         |x        \\/    a  /|
                                       a*|-- - ---------------|
                                         | 2             ____ |
                                         |a       4     / 1   |
                                         |       a *   /  --  |
  /                      2               |            /    2  |
 |                      x *atan(a*x)     \          \/    a   /
 | x*atan(a*x) dx = C + ------------ - ------------------------
 |                           2                    2            
/

$$\int x \operatorname{atan}{\left(a x \right)}\, dx = C - \frac{a \left(\frac{x}{a^{2}} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}} \right)}}{a^{4} \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}}\right)}{2} + \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(a x \right)}}{2}$$

Simplificar

Respuesta [src]

/atan(a)    1    atan(a)                                  
|------- - --- + -------  for And(a > -oo, a < oo, a != 0)
|   2      2*a        2                                   
<                  2*a                                    
|                                                         
|           0                        otherwise            
\

$$\begin{cases} \frac{\operatorname{atan}{\left(a \right)}}{2} - \frac{1}{2 a} + \frac{\operatorname{atan}{\left(a \right)}}{2 a^{2}} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

/atan(a)    1    atan(a)                                  
|------- - --- + -------  for And(a > -oo, a < oo, a != 0)
|   2      2*a        2                                   
<                  2*a                                    
|                                                         
|           0                        otherwise            
\

Piecewise((atan(a)/2 - 1/(2*a) + atan(a)/(2*a^2), (a > -oo)∧(a < oo)∧(Ne(a, 0))), (0, True))

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de xarctg(ax) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución