Sr Examen

Integral de xarctg(x)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1             
  /             
 |              
 |  x*atan(x) dx
 |              
/               
0               
01xatan(x)dx\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx
Integral(x*atan(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=atan(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} y que dv(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

    Entonces du(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

      xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    x22(x2+1)dx=x2x2+1dx2\int \frac{x^{2}}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2x2+1=11x2+1\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (1x2+1)dx=1x2+1dx\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx

          PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: atan(x)- \operatorname{atan}{\left(x \right)}

      El resultado es: xatan(x)x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: x2atan(x)2\frac{x}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2atan(x)2x2+atan(x)2+constant\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x2atan(x)2x2+atan(x)2+constant\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                  2        
 |                    atan(x)   x   x *atan(x)
 | x*atan(x) dx = C + ------- - - + ----------
 |                       2      2       2     
/                                             
xatan(x)dx=C+x2atan(x)2x2+atan(x)2\int x \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Respuesta [src]
  1   pi
- - + --
  2   4 
12+π4- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}
=
=
  1   pi
- - + --
  2   4 
12+π4- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}
-1/2 + pi/4
Respuesta numérica [src]
0.285398163397448
0.285398163397448

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.