Integral de cos(a)*sin^3x dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi                  
 --                  
 2                   
  /                  
 |                   
 |            3      
 |  cos(a)*sin (x) dx
 |                   
/                    
pi                   
--                   
6

$$\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(a \right)}\, dx$$

Integral(cos(a)*sin(x)^3, (x, pi/6, pi/2))

Solución detallada

La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(a \right)}\, dx = \cos{\left(a \right)} \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$
2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$
    1. Integramos término a término:
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-1\right)\, du = - u$
      
      El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - u$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    1. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
    El resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
  Método #3
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    1. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
    El resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
Por lo tanto, el resultado es: $\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(a \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(a \right)} \cos{\left(x \right)}}{3}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(a \right)} \cos{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(a \right)} \cos{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                  
 |                         /             3   \       
 |           3             |          cos (x)|       
 | cos(a)*sin (x) dx = C + |-cos(x) + -------|*cos(a)
 |                         \             3   /       
/

$$\int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(a \right)}\, dx = C + \left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(a \right)}$$

Simplificar

Respuesta [src]

    ___       
3*\/ 3 *cos(a)
--------------
      8

$$\frac{3 \sqrt{3} \cos{\left(a \right)}}{8}$$

    ___       
3*\/ 3 *cos(a)
--------------
      8

$$\frac{3 \sqrt{3} \cos{\left(a \right)}}{8}$$

3*sqrt(3)*cos(a)/8

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cos(a)*sin^3x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3