Integral de e^(x*(-3))-1/(3*x+2)+2+3^(2*x)-sin(x)^3*cos(x) dx
Solución
Solución detallada
Integramos término a término:
Integramos término a término:
que u = 2 x u = 2 x u = 2 x .
Luego que d u = 2 d x du = 2 dx d u = 2 d x y ponemos d u 2 \frac{du}{2} 2 d u :
∫ 3 u 2 d u \int \frac{3^{u}}{2}\, du ∫ 2 3 u d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 3 u d u = ∫ 3 u d u 2 \int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{2} ∫ 3 u d u = 2 ∫ 3 u d u
La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.
∫ 3 u d u = 3 u log ( 3 ) \int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}} ∫ 3 u d u = l o g ( 3 ) 3 u
Por lo tanto, el resultado es: 3 u 2 log ( 3 ) \frac{3^{u}}{2 \log{\left(3 \right)}} 2 l o g ( 3 ) 3 u
Si ahora sustituir u u u más en:
3 2 x 2 log ( 3 ) \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} 2 l o g ( 3 ) 3 2 x
Integramos término a término:
Integramos término a término:
que u = ( − 3 ) x u = \left(-3\right) x u = ( − 3 ) x .
Luego que d u = − 3 d x du = - 3 dx d u = − 3 d x y ponemos − d u 3 - \frac{du}{3} − 3 d u :
∫ ( − e u 3 ) d u \int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du ∫ ( − 3 e u ) d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
False \text{False} False
La integral de la función exponencial es la mesma.
∫ e u d u = e u \int e^{u}\, du = e^{u} ∫ e u d u = e u
Por lo tanto, el resultado es: − e u 3 - \frac{e^{u}}{3} − 3 e u
Si ahora sustituir u u u más en:
− e ( − 3 ) x 3 - \frac{e^{\left(-3\right) x}}{3} − 3 e ( − 3 ) x
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 1 3 x + 2 ) d x = − ∫ 1 3 x + 2 d x \int \left(- \frac{1}{3 x + 2}\right)\, dx = - \int \frac{1}{3 x + 2}\, dx ∫ ( − 3 x + 2 1 ) d x = − ∫ 3 x + 2 1 d x
que u = 3 x + 2 u = 3 x + 2 u = 3 x + 2 .
Luego que d u = 3 d x du = 3 dx d u = 3 d x y ponemos d u 3 \frac{du}{3} 3 d u :
∫ 1 3 u d u \int \frac{1}{3 u}\, du ∫ 3 u 1 d u
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 1 u d u = ∫ 1 u d u 3 \int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3} ∫ u 1 d u = 3 ∫ u 1 d u
Integral 1 u \frac{1}{u} u 1 es log ( u ) \log{\left(u \right)} log ( u ) .
Por lo tanto, el resultado es: log ( u ) 3 \frac{\log{\left(u \right)}}{3} 3 l o g ( u )
Si ahora sustituir u u u más en:
log ( 3 x + 2 ) 3 \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} 3 l o g ( 3 x + 2 )
Por lo tanto, el resultado es: − log ( 3 x + 2 ) 3 - \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} − 3 l o g ( 3 x + 2 )
El resultado es: − e ( − 3 ) x 3 − log ( 3 x + 2 ) 3 - \frac{e^{\left(-3\right) x}}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} − 3 e ( − 3 ) x − 3 l o g ( 3 x + 2 )
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫ 2 d x = 2 x \int 2\, dx = 2 x ∫ 2 d x = 2 x
El resultado es: 2 x − e ( − 3 ) x 3 − log ( 3 x + 2 ) 3 2 x - \frac{e^{\left(-3\right) x}}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} 2 x − 3 e ( − 3 ) x − 3 l o g ( 3 x + 2 )
El resultado es: 3 2 x 2 log ( 3 ) + 2 x − e ( − 3 ) x 3 − log ( 3 x + 2 ) 3 \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + 2 x - \frac{e^{\left(-3\right) x}}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} 2 l o g ( 3 ) 3 2 x + 2 x − 3 e ( − 3 ) x − 3 l o g ( 3 x + 2 )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − sin 3 ( x ) cos ( x ) ) d x = − ∫ sin 3 ( x ) cos ( x ) d x \int \left(- \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx ∫ ( − sin 3 ( x ) cos ( x ) ) d x = − ∫ sin 3 ( x ) cos ( x ) d x
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
que u = sin ( x ) u = \sin{\left(x \right)} u = sin ( x ) .
Luego que d u = cos ( x ) d x du = \cos{\left(x \right)} dx d u = cos ( x ) d x y ponemos d u du d u :
∫ u 3 d u \int u^{3}\, du ∫ u 3 d u
Integral u n u^{n} u n es u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 when n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 :
∫ u 3 d u = u 4 4 \int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4} ∫ u 3 d u = 4 u 4
Si ahora sustituir u u u más en:
sin 4 ( x ) 4 \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} 4 s i n 4 ( x )
Método #2
Vuelva a escribir el integrando:
sin 3 ( x ) cos ( x ) = ( 1 − cos 2 ( x ) ) sin ( x ) cos ( x ) \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} sin 3 ( x ) cos ( x ) = ( 1 − cos 2 ( x ) ) sin ( x ) cos ( x )
que u = − cos 2 ( x ) u = - \cos^{2}{\left(x \right)} u = − cos 2 ( x ) .
Luego que d u = 2 sin ( x ) cos ( x ) d x du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx d u = 2 sin ( x ) cos ( x ) d x y ponemos d u du d u :
∫ ( u 2 + 1 2 ) d u \int \left(\frac{u}{2} + \frac{1}{2}\right)\, du ∫ ( 2 u + 2 1 ) d u
Integramos término a término:
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ u 2 d u = ∫ u d u 2 \int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2} ∫ 2 u d u = 2 ∫ u d u
Integral u n u^{n} u n es u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 when n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 :
∫ u d u = u 2 2 \int u\, du = \frac{u^{2}}{2} ∫ u d u = 2 u 2
Por lo tanto, el resultado es: u 2 4 \frac{u^{2}}{4} 4 u 2
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫ 1 2 d u = u 2 \int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2} ∫ 2 1 d u = 2 u
El resultado es: u 2 4 + u 2 \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2} 4 u 2 + 2 u
Si ahora sustituir u u u más en:
cos 4 ( x ) 4 − cos 2 ( x ) 2 \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} 4 c o s 4 ( x ) − 2 c o s 2 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: − sin 4 ( x ) 4 - \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} − 4 s i n 4 ( x )
El resultado es: 3 2 x 2 log ( 3 ) + 2 x − e ( − 3 ) x 3 − log ( 3 x + 2 ) 3 − sin 4 ( x ) 4 \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + 2 x - \frac{e^{\left(-3\right) x}}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} - \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} 2 l o g ( 3 ) 3 2 x + 2 x − 3 e ( − 3 ) x − 3 l o g ( 3 x + 2 ) − 4 s i n 4 ( x )
Ahora simplificar:
3 2 x 2 log ( 3 ) + 2 x − log ( 3 x + 2 ) 3 − sin 4 ( x ) 4 − e − 3 x log ( 81 ) 12 log ( 3 ) \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + 2 x - \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} - \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{- 3 x} \log{\left(81 \right)}}{12 \log{\left(3 \right)}} 2 l o g ( 3 ) 3 2 x + 2 x − 3 l o g ( 3 x + 2 ) − 4 s i n 4 ( x ) − 12 l o g ( 3 ) e − 3 x l o g ( 81 )
Añadimos la constante de integración:
3 2 x 2 log ( 3 ) + 2 x − log ( 3 x + 2 ) 3 − sin 4 ( x ) 4 − e − 3 x log ( 81 ) 12 log ( 3 ) + c o n s t a n t \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + 2 x - \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} - \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{- 3 x} \log{\left(81 \right)}}{12 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant} 2 l o g ( 3 ) 3 2 x + 2 x − 3 l o g ( 3 x + 2 ) − 4 s i n 4 ( x ) − 12 l o g ( 3 ) e − 3 x l o g ( 81 ) + constant
Respuesta:
3 2 x 2 log ( 3 ) + 2 x − log ( 3 x + 2 ) 3 − sin 4 ( x ) 4 − e − 3 x log ( 81 ) 12 log ( 3 ) + c o n s t a n t \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + 2 x - \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} - \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{- 3 x} \log{\left(81 \right)}}{12 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant} 2 l o g ( 3 ) 3 2 x + 2 x − 3 l o g ( 3 x + 2 ) − 4 s i n 4 ( x ) − 12 l o g ( 3 ) e − 3 x l o g ( 81 ) + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| x*(-3) 4 2*x
| / x*(-3) 1 2*x 3 \ e log(3*x + 2) sin (x) 3
| |E - ------- + 2 + 3 - sin (x)*cos(x)| dx = C + 2*x - ------- - ------------ - ------- + --------
| \ 3*x + 2 / 3 3 4 2*log(3)
|
/
∫ ( ( 3 2 x + ( ( e ( − 3 ) x − 1 3 x + 2 ) + 2 ) ) − sin 3 ( x ) cos ( x ) ) d x = 3 2 x 2 log ( 3 ) + C + 2 x − e ( − 3 ) x 3 − log ( 3 x + 2 ) 3 − sin 4 ( x ) 4 \int \left(\left(3^{2 x} + \left(\left(e^{\left(-3\right) x} - \frac{1}{3 x + 2}\right) + 2\right)\right) - \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + C + 2 x - \frac{e^{\left(-3\right) x}}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 2 \right)}}{3} - \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} ∫ ( ( 3 2 x + ( ( e ( − 3 ) x − 3 x + 2 1 ) + 2 ) ) − sin 3 ( x ) cos ( x ) ) d x = 2 log ( 3 ) 3 2 x + C + 2 x − 3 e ( − 3 ) x − 3 log ( 3 x + 2 ) − 4 sin 4 ( x )
Gráfica
0.00 1.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 20 -10
-3 4
7 4 e log(5) sin (1) log(2)
- + ------ - --- - ------ - ------- + ------
3 log(3) 3 3 4 3
− log ( 5 ) 3 − sin 4 ( 1 ) 4 − 1 3 e 3 + log ( 2 ) 3 + 7 3 + 4 log ( 3 ) - \frac{\log{\left(5 \right)}}{3} - \frac{\sin^{4}{\left(1 \right)}}{4} - \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{7}{3} + \frac{4}{\log{\left(3 \right)}} − 3 log ( 5 ) − 4 sin 4 ( 1 ) − 3 e 3 1 + 3 log ( 2 ) + 3 7 + log ( 3 ) 4
=
-3 4
7 4 e log(5) sin (1) log(2)
- + ------ - --- - ------ - ------- + ------
3 log(3) 3 3 4 3
− log ( 5 ) 3 − sin 4 ( 1 ) 4 − 1 3 e 3 + log ( 2 ) 3 + 7 3 + 4 log ( 3 ) - \frac{\log{\left(5 \right)}}{3} - \frac{\sin^{4}{\left(1 \right)}}{4} - \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{7}{3} + \frac{4}{\log{\left(3 \right)}} − 3 log ( 5 ) − 4 sin 4 ( 1 ) − 3 e 3 1 + 3 log ( 2 ) + 3 7 + log ( 3 ) 4
7/3 + 4/log(3) - exp(-3)/3 - log(5)/3 - sin(1)^4/4 + log(2)/3
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.