Integral de 1/(x(sqrt(lnx)+1)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{x \left(\sqrt{\log{\left(x \right)}} + 1\right)} = \frac{1}{x \sqrt{\log{\left(x \right)}} + x}$

   2. que $u = \sqrt{\log{\left(x \right)}}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u}{u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u - 2 \log{\left(u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{\log{\left(x \right)}} - 2 \log{\left(\sqrt{\log{\left(x \right)}} + 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{x \left(\sqrt{\log{\left(x \right)}} + 1\right)} = \frac{1}{x \sqrt{\log{\left(x \right)}} + x}$

   2. que $u = \sqrt{\log{\left(x \right)}}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u}{u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u - 2 \log{\left(u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{\log{\left(x \right)}} - 2 \log{\left(\sqrt{\log{\left(x \right)}} + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{\log{\left(x \right)}} - 2 \log{\left(\sqrt{\log{\left(x \right)}} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{\log{\left(x \right)}} - 2 \log{\left(\sqrt{\log{\left(x \right)}} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$