Integral de 1/exp(x)*(3*exp(x)+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{e^{x}}$.

      Luego que $du = - e^{- x} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u + 3}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u + 3}{u}\, du = - \int \frac{u + 3}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 3}{u} = 1 + \frac{3}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u}\, du = 3 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 3 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u - 3 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \log{\left(e^{x} \right)} - e^{- x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 e^{x} + 1}{e^{x}} = e^{- x} + 3 e^{- x} e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 e^{- x} e^{x}\, dx = 3 \int e^{- x} e^{x}\, dx$

         1. que $u = e^{x}$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(e^{x} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(e^{x} \right)}$

      El resultado es: $3 \log{\left(e^{x} \right)} - e^{- x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 \log{\left(e^{x} \right)} - e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \log{\left(e^{x} \right)} - e^{- x}+ \mathrm{constant}$