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Resolución de integrales/ sqrtx/ x^2-1/ x/(sqrtx^2-1)

Integral de x/(sqrtx^2-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo              
  /              
 |               
 |      x        
 |  ---------- dx
 |       2       
 |    ___        
 |  \/ x   - 1   
 |               
/                
2
∫2∞x(x)2−1 dx\int\limits_{2}^{\infty} \frac{x}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1}\, dx 
Integral(x/((sqrt(x))^2 - 1), (x, 2, oo))
Solución detallada

  1. que u=xu = \sqrt{x}.

    Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

    ∫2u3u2−1 du\int \frac{2 u^{3}}{u^{2} - 1}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u3u2−1 du=2∫u3u2−1 du\int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=u2u = u^{2}.

          Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos dudu:

          ∫u2u−2 du\int \frac{u}{2 u - 2}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u−2=12+12(u−1)\frac{u}{2 u - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

              1. que u=u−1u = u - 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

            El resultado es: u2+log⁡(u−1)2\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          u22+log⁡(u2−1)2\frac{u^{2}}{2} + \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u3u2−1=u+12(u+1)+12(u−1)\frac{u^{3}}{u^{2} - 1} = u + \frac{1}{2 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(u+1) du=∫1u+1 du2\int \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}

            1. que u=u+1u = u + 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u+1)2\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

          El resultado es: u22+log⁡(u−1)2+log⁡(u+1)2\frac{u^{2}}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: u2+log⁡(u2−1)u^{2} + \log{\left(u^{2} - 1 \right)}

    Si ahora sustituir uu más en:

    x+log⁡(x−1)x + \log{\left(x - 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x+log⁡(x−1)+constantx + \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x+log⁡(x−1)+constantx + \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   
 |                                    
 |     x                              
 | ---------- dx = C + x + log(-1 + x)
 |      2                             
 |   ___                              
 | \/ x   - 1                         
 |                                    
/
∫x(x)2−1 dx=C+x+log⁡(x−1)\int \frac{x}{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 1}\, dx = C + x + \log{\left(x - 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
2.00002.01002.00102.00202.00302.00402.00502.00602.00702.00802.00902.002.01
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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