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Resolución de integrales/ (d*x)/x/ cos(lnx)/ cos(lnx)*(d*x)/x

Integral de cos(lnx)*(d*x)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |  cos(log(x))*d*x   
 |  --------------- dx
 |         x          
 |                    
/                     
0
∫01dxcos⁡(log⁡(x))x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{d x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx 
Integral((cos(log(x))*(d*x))/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos ddud du:

      ∫deucos⁡(u) du\int d e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫eucos⁡(u) du=d∫eucos⁡(u) du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = d \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du

        1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

          1. Para el integrando eucos⁡(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

            que u(u)=cos⁡(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces ∫eucos⁡(u) du=eucos⁡(u)−∫(−eusin⁡(u)) du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

          2. Para el integrando −eusin⁡(u)- e^{u} \sin{\left(u \right)}:

            que u(u)=−sin⁡(u)u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces ∫eucos⁡(u) du=eusin⁡(u)+eucos⁡(u)+∫(−eucos⁡(u)) du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du.

          3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            2∫eucos⁡(u) du=eusin⁡(u)+eucos⁡(u)2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto,

            ∫eucos⁡(u) du=eusin⁡(u)2+eucos⁡(u)2\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: d(eusin⁡(u)2+eucos⁡(u)2)d \left(\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}\right)

      Si ahora sustituir uu más en:

      d(xsin⁡(log⁡(x))2+xcos⁡(log⁡(x))2)d \left(\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\right)

    Método #2

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −ddu- d du:

      ∫(−dcos⁡(log⁡(1u))u2) du\int \left(- \frac{d \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(log⁡(1u))u2 du=−d∫cos⁡(log⁡(1u))u2 du\int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u^{2}}\, du = - d \int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u^{2}}\, du

        1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

          ∫(−eucos⁡(u)) du\int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫eucos⁡(u) du=−∫eucos⁡(u) du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du

            1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

              1. Para el integrando eucos⁡(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

                que u(u)=cos⁡(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

                Entonces ∫eucos⁡(u) du=eucos⁡(u)−∫(−eusin⁡(u)) du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

              2. Para el integrando −eusin⁡(u)- e^{u} \sin{\left(u \right)}:

                que u(u)=−sin⁡(u)u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

                Entonces ∫eucos⁡(u) du=eusin⁡(u)+eucos⁡(u)+∫(−eucos⁡(u)) du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du.

              3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                2∫eucos⁡(u) du=eusin⁡(u)+eucos⁡(u)2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto,

                ∫eucos⁡(u) du=eusin⁡(u)2+eucos⁡(u)2\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −eusin⁡(u)2−eucos⁡(u)2- \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡(log⁡(1u))2u−cos⁡(log⁡(1u))2u- \frac{\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u} - \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u}

        Por lo tanto, el resultado es: −d(−sin⁡(log⁡(1u))2u−cos⁡(log⁡(1u))2u)- d \left(- \frac{\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u} - \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u}\right)

      Si ahora sustituir uu más en:

      −d(−xsin⁡(log⁡(x))2−xcos⁡(log⁡(x))2)- d \left(- \frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\right)

  2. Ahora simplificar:

    2dxsin⁡(log⁡(x)+π4)2\frac{\sqrt{2} d x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2dxsin⁡(log⁡(x)+π4)2+constant\frac{\sqrt{2} d x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2dxsin⁡(log⁡(x)+π4)2+constant\frac{\sqrt{2} d x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                                           
 | cos(log(x))*d*x            /x*cos(log(x))   x*sin(log(x))\
 | --------------- dx = C + d*|------------- + -------------|
 |        x                   \      2               2      /
 |                                                           
/
∫dxcos⁡(log⁡(x))x dx=C+d(xsin⁡(log⁡(x))2+xcos⁡(log⁡(x))2)\int \frac{d x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx = C + d \left(\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
d
-
2
d2\frac{d}{2} 
=
= 
d
-
2
d2\frac{d}{2} 
d/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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