Sr Examen

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Integral de cos(lnx)*(d*x)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |                    
 |  cos(log(x))*d*x   
 |  --------------- dx
 |         x          
 |                    
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0                     
01dxcos(log(x))xdx\int\limits_{0}^{1} \frac{d x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx
Integral((cos(log(x))*(d*x))/x, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos ddud du:

      deucos(u)du\int d e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        eucos(u)du=deucos(u)du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = d \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du

        1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

          1. Para el integrando eucos(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

            que u(u)=cos(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces eucos(u)du=eucos(u)(eusin(u))du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

          2. Para el integrando eusin(u)- e^{u} \sin{\left(u \right)}:

            que u(u)=sin(u)u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces eucos(u)du=eusin(u)+eucos(u)+(eucos(u))du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du.

          3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            2eucos(u)du=eusin(u)+eucos(u)2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto,

            eucos(u)du=eusin(u)2+eucos(u)2\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: d(eusin(u)2+eucos(u)2)d \left(\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}\right)

      Si ahora sustituir uu más en:

      d(xsin(log(x))2+xcos(log(x))2)d \left(\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\right)

    Método #2

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos ddu- d du:

      (dcos(log(1u))u2)du\int \left(- \frac{d \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        cos(log(1u))u2du=dcos(log(1u))u2du\int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u^{2}}\, du = - d \int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u^{2}}\, du

        1. que u=log(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=duudu = - \frac{du}{u} y ponemos du- du:

          (eucos(u))du\int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            eucos(u)du=eucos(u)du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du

            1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

              1. Para el integrando eucos(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

                que u(u)=cos(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

                Entonces eucos(u)du=eucos(u)(eusin(u))du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

              2. Para el integrando eusin(u)- e^{u} \sin{\left(u \right)}:

                que u(u)=sin(u)u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

                Entonces eucos(u)du=eusin(u)+eucos(u)+(eucos(u))du\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du.

              3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                2eucos(u)du=eusin(u)+eucos(u)2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto,

                eucos(u)du=eusin(u)2+eucos(u)2\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: eusin(u)2eucos(u)2- \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin(log(1u))2ucos(log(1u))2u- \frac{\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u} - \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u}

        Por lo tanto, el resultado es: d(sin(log(1u))2ucos(log(1u))2u)- d \left(- \frac{\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u} - \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u}\right)

      Si ahora sustituir uu más en:

      d(xsin(log(x))2xcos(log(x))2)- d \left(- \frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\right)

  2. Ahora simplificar:

    2dxsin(log(x)+π4)2\frac{\sqrt{2} d x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2dxsin(log(x)+π4)2+constant\frac{\sqrt{2} d x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2dxsin(log(x)+π4)2+constant\frac{\sqrt{2} d x \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 | cos(log(x))*d*x            /x*cos(log(x))   x*sin(log(x))\
 | --------------- dx = C + d*|------------- + -------------|
 |        x                   \      2               2      /
 |                                                           
/                                                            
dxcos(log(x))xdx=C+d(xsin(log(x))2+xcos(log(x))2)\int \frac{d x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx = C + d \left(\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}\right)
Respuesta [src]
d
-
2
d2\frac{d}{2}
=
=
d
-
2
d2\frac{d}{2}
d/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.