Integral de dx/sqrtx(1+x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{t} \left(x + 1\right)^{2} = \frac{x^{3}}{t} + \frac{2 x^{2}}{t} + \frac{x}{t}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{t}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{t}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{4 t}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x^{2}}{t}\, dx = \frac{2 \int x^{2}\, dx}{t}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3 t}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{t}\, dx = \frac{\int x\, dx}{t}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{2 t}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4 t} + \frac{2 x^{3}}{3 t} + \frac{x^{2}}{2 t}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{t} \left(x + 1\right)^{2} = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + x}{t}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} + x}{t}\, dx = \frac{\int \left(x^{3} + 2 x^{2} + x\right)\, dx}{t}$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}}{t}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(3 x^{2} + 8 x + 6\right)}{12 t}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(3 x^{2} + 8 x + 6\right)}{12 t}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(3 x^{2} + 8 x + 6\right)}{12 t}+ \mathrm{constant}$